110 Dirichlet: Vereinfachung der Th eorie 



Auf dieselbe Weise erhält man aus der Gleichung &>„_, = £ v _, , 



der man die Form — = £„ , geben kann, und den ähnlichen dieser 



vorhergehenden, für den reeiproken Wei-th der zweiten Wurzel 

 £ =(-0— (/%.,, k v _ 2 , . . k v _ 2 „; fc„_, , *,_, , . .) 



und man sieht, dafs die hier vorkommende Periode, deren Glieder sich auch 

 wie folgt schreiben lassen k,, ^ , , Ä-„ . „, . . k ... k : durch Umkehrung 

 der in der Entwicklung der ersten Wurzel enthaltenen Periode entsteht. 



Es ist noch zu bemerken, dafs für die Zahlenreihe, deren allgemeines 

 Glied k^ ist, eine 2ngliedrige Periode die kürzeste Periode von gerader 

 Gliederzahl ist, durch deren Wiederholung sie erzeugt werden kann. Gäbe 

 es nämlich eine kürzere mit der Gliederzahl 2 m, so würden nach der oben 

 für die erste Wurzel w ( gefundenen Entwicklung, w und w 2m , und folglich 

 auch (p und </> 2m zusammenfallen, gegen unsere Voraussetzung, dafs 2n der 

 kleinste Index ist, für den cp 2a mit <p identisch wird. 



Endlich werde noch erwähnt, dafs man die Gesammtheit der zu einer 

 gegebenen Determinante gehörigen reducirten Formen immer in Perioden 

 vertheilen kann, wie wir sie in diesem § betrachtet haben. Nachdem man 

 aus einer i-educirten Form die Periode der sie angehört, gebildet hat, ver- 

 fährt man, falls nicht schon alle reducirten Formen in dieser ersten Periode 

 enthalten sind, auf dieselbe Weise mit einer der noch übrigen Formen. Die 

 so gebildete zweite Periode besteht aus Formen, die wie sie von einander, so 

 auch offenbar von denen der ersten verschieden sind. Auf diese Weise fährt 

 man fort neue Perioden zu bilden, bis alle reducirten Formen erschöpft sind. 



§• 6- 

 Wir kommen nun zu der Frage, welche die Entscheidung betrifft, ob 

 zwei gegebene Formen äquivalent sind oder nicht. Da man aus jeder Form 

 leicht eine mit ihr äquivalente reducirte ableiten kann, andrerseits aber For- 

 men, welche derselben Periode angehören, immer äquivalent sind, so bleibt 

 nur zu untersuchen, ob Formen aus verschiedenen Perioden äquivalent sein 

 können. Da offenbar bei dieser Untersuchung jede der beiden mit einander 



