der binären quadratischen Formen von positiver Determinante. 111 



zu vergleichenden Formen beliebig in ihrer Periode gewählt werden kann, 

 so wollen wir die ersten Coefficienten beider Formen 



<p o = {a,b,c), * = {A,B,C) 

 positiv voraussetzen, jeder in ihrer Periode den Index o beilegen, für die 

 Periode der ersten alle in §. 5 gebrauchten Zeichen beibehalten und uns für 

 die der zweiten der entsprechenden grofsen Buchstaben bedienen, so dafs 

 also die zu unseren Formen gehörigen ersten Wurzeln durch die normalen 

 Kettenbrüche 



w o = (*<» *u h> • • )> fi o = (K a , K,, K„ .. ) 

 dargestellt werden. Werden nun die Formen äquivalent vorausgesetzt und 

 geht die erste in die zweite durch die Substitution ("' § j über, so ist nach §. 3, 1 



Wie leicht zu sehen, kann a nicht Null sein. Alsdann wäre nämlich 7 = ± i, 

 und folglich A = c, was der hinsichtlich der Zeichen der Coefficienten ge- 

 machten Voraussetzung widerspricht. Wir haben also nach §. 2, I eine Glei- 

 chung der Form 



w = (X, m, . . r, er, n ) = (X, m, . . r, er, K , K,, . . Ä„, . .) 

 wo die Glieder A, m, . r, r in gerader Anzahl 2g sind. Wird nun der Ket- 

 tenbruch nach §. 1 in einen normalen umgeformt, so wird, da w positiv ist, 

 die Anzahl der Glieder bis zu einem hinlänglich entfernten, unberührt blei- 

 benden Gliede K t gezählt, sich um eine gerade Zahl 2 h ändern, wo h posi- 

 tiv oder negativ sein soll, je nachdem die Anzahl wächst oder abnimmt, und 

 /i == auch den Fall in sich begreift, wo der ursprüngliche Kettenbruch schon 

 ein normaler ist. Nach der Umformung mufs der Kettenbruch mit dem oben 

 für w angenommenen zusammenfallen. Es ist daher, wenn der Index v eine 

 gewisse Grenze überschreitet, 



Schreibt man 2 Ni + v statt v, wo 2 Ni ein hinlänglich grofses Multiplum 

 von 2ZV 7 bedeutet, so kann das neue v jeden positiven Werth mit Einschlufs 

 der Null annehmen, und man erhält, wenn man 2 Ni im Index von K weg- 

 läfst und im Index von k, 2g -+■ 2h -+- 2 Ni auf seinen nach dem Modul 2n 

 genommenen Rest 2 m reducirt, 



