112 Dirichlet: Vereinfachung der Theorie 



K = JW 



Es ist mithin Cl = to 2m und folglich * = (f> lm d. h. die zweite Form ist in 

 der zur ersten gehörigen Periode enthalten und entspricht in dieser dem In- 

 dex 2m. Formen aus verschiedenen Perioden können demnach nicht äqui- 

 valent sein. 



§• 7. 



Nachdem wir den schwierigsten Satz der Theorie der quadratischen 

 Formen von positiver Determinante auf eine einfache Weise bewiesen 

 haben, bleibt uns noch mit wenigen Worten anzudeuten, wie die übrige 

 Lehre in denjenigen Punkten, die nicht sowohl auf diesem Satze als viel- 

 mehr auf der Begründung desselben beruhen, unserem Beweise gemäfs zu 

 modificiren ist. 



Da die Operationen, durch welche man die Äquivalenz zweier For- 

 men erkennt, immer eine erste Substitution ergeben, durch welche die eine 

 Form in die andere übergeht, so bleibt hinsichtlich der Äquivalenz nur noch 

 die Aufgabe aus einer gegebenen Transformation einer Form in eine andere 

 alle übrigen abzuleiten. Diese Aufgabe wird leicht auf die einfachere zurück- 

 geführt, alle Transformationen einer Form in sich selbst darzustellen, und 

 man kann dabei voraussetzen, dafs die Coefficienten der Form ohne gemein- 

 schaftlichen Theiler sind, da jede Substitution, durch welche eine Form in 

 sich selbst übergeht, bei der durch Entfernung des gemeinschaftlichen Thei- 

 lers entstandenen neuen Form denselben Erfolg hervorbi'ingt und umge- 

 kehrt. Ist nun (a, b, c) eine Form, deren Coefficienten a, b, c keinen ge- 

 meinschaftlichen Theiler haben, so wird der gröfste gemeinschaftliche Theiler 

 von a, 2 b, c, den wir, positiv genommen, <r nennen wollen, 1 oder 2 sein, 

 von welchen beiden Fällen der letztere übrigens nur Statt finden kann, wenn 

 die Determinante D = b 2 — ac die Form i/j + l hat. Dies vorausgesetzt, 

 beweist man (*), dafs alle Substitutionen ( ' §j, welche die Form in sich 

 selbst verwandeln, durch die Gleichungen 



t — hu o cu au k / -f- b u 



a = , fö = , 7 = — , ö — — - — 



(') Disq. arith. pag. 181 oder Crelle's Journal. Band 24, S. 328. Der am letzteren Orte 

 gegebene Deweis gilt für complexe Zahlen, bleibt aber wörtlich für reelle anwendbar, wenn 

 man unter dem dort gebrauchten Zeichen tu dasselbe versteht, was hier mit t bezeichnet ist. 



