der binären quadratischen Formen von positiver Determinante. 113 



erbalten werden, wenn man in diese alle ganzen Zahlen /, u einsetzt, welche 

 der Gleichung 



t 2 — Du 2 = <r 2 



genügen, und zeigt zugleich, dafs die vollständige Auflösung dieser unbe- 

 stimmten Gleichung leicht aus der in den kleinsten positiven Zahlen ausge- 

 drückten Auflösung abzuleiten ist. 



Man kann nun den Zusammenhang zwischen beiden Problemen zur 

 Auflösung der unbestimmten Gleichung benutzen, da sich das Transforma- 

 tionsproblem für den Fall einer reducirten Form direct lösen läfst. Wir 

 können hierbei a in der reducirten Form positiv voraussetzen und uns auf 

 die Betrachtung derjenigen Substitutionen beschränken, deren Coefficienten 

 a, ß, y, & sämmtlich positiv sind. Ist 



w = fto) &u Jc t , . . *,„•_, ; A- , A-, . . .) 



der normale periodische Kettenbruch, welcher die erste der zur Form 

 (a, b, c) gehörigen Wurzeln darstellt, und bezeichnen — , - p - zwei aufeinan- 

 der folgende Näherungswerthe desselben, deren zweiter dem Endgliede &,„_, 

 irgend einer Periode entspricht, so hat man 



aö — hy=i, m= . o, > 



a ■+■ p ui 



aus welchen Gleichungen nach §. 3, II, wenn man die dort vorkommenden 

 Formen identisch voraussetzt, folgt, dafs unsere Form durch die aus vier 

 positiven Coefficienten gebildete Substitution «, ß, y, & in sich selbst 

 übergeht. Umgekehrt ist leicht zu zeigen, dafs man alle Substitutionen 

 der bezeichneten Art auf diese Weise erhält. Sind nämlich «, ß, y, & die 

 Coefficienten einer solchen, so schliefst man aus §. 3, I, dafs obige zwei 

 Gleichungen Statt finden. Gibt man nun der zweiten, welche für beide 

 Wurzeln w gilt, die Form 



ß w 2 + (« — S) w — v = o, 



und bemerkt, dafs von diesen Wurzeln die erste zwischen l und oo, die 

 zweite zwischen — i und o liegt, so folgt, dafs die erste Seite für w = l ne- 

 gativ, für w = — i positiv sein mufs. Man erhält so die beiden Ungleich- 

 heiten 



Math. Kl. 1854. P 



