114 Dirichlet: V ereinfachung der Theorie 



7 — a>ß — $, $ — y>a — ß, 



aus welchen leicht diese neuen 



&>% y lt. a 



abgeleitet werden. Die Richtigkeit der ersten ergibt sich, indem man von 

 der entgegengesetzten Annahme £ ^ 7 ausgeht, aus welcher wegen a& > $7, 

 a > /3 oder a — /3 > 0, und dann nach der zweiten der obigen Ungleich- 

 heiten, £> 7 folgt. Setzt man zweitens cc > 7, so kann nicht zugleich £> ß 

 sein, da dann a$ um wenigstens 3 Einheiten gröfser als ßy sein würde. Aus 

 ß — £ > folgt aber nach der ersten der obigen Ungleichheiten 7 > a. Da 

 so die Annahme a > 7 auf einen Widerspruch führt, so ist nothwendig 

 7 > a. 



Es iinden hiernach alle §. 2, II gemachten Voraussetzungen Statt und 

 man hat 



7 ß 



— = (l, m, . . ?•), -j = (l, in, . . r, s), u = (/, m, . . r, s, w). 



Setzt man für die erste Wurzel w obige Entwicklung ein, so erhält 

 man zwei gleiche und folglich identische normale Kettenbrüche, so dafs die 

 Reihe /, m, . . r, s nothwendig aus einer oder mehreren Perioden k , Ar,', .. 

 /<:„„_, besteht und — , -7,-, wie vorhin behauptet wurde, zwei aufeinander- 

 folgende dem Ende einer Periode entsprechende Näherungswerthe sind. Da 

 nun «, ß, 7, £ offenbar wachsen, wenn man von einer Periode zur folgen- 

 den übergeht, so werden die kleinsten positiven Substitutionscoefficienten 

 dem Ende der ersten Periode entsprechen und man überzeugt sich auch 

 leicht, dafs sie in den oben angeführten Gleichungen aus den kleinsten po- 

 sitiven Werthen von / und u erhalten werden. Nach der ersten und vierten 

 jener Gleichungen ist nämlich 



a& = 



t*-b 2 u 2 t*-Du l 



Da nun — ac positiv ist, so haben a und Zimmer dasselbe Zeichen, welches 

 wegen a -+- & = — das Zeichen von t ist. Eben so sieht man aus den Aus- 

 drücken für ß und 7, dafs auch diese, wenn sie nicht beide Null sind, was 

 u = voraussetzt, im Zeichen mit u übereinstimmen. Die oben unter- 



