Frobenius: Über die mit einer Matrix vertauschbnron Matrizen. 15 



WO T ebenso wie C^„ der Bedingung T' =^ zT genügt. Die Matrix 

 P-AT kann man in derselben Weise wie oben reduzieren. Dann ent- 

 spricht jeder konstanten Matrix R, die den Bedingungen 



R = iR', CR = EC' 



genügt, nur eine reduzierte Matrix P, die der Bedingung 



PA = bAP' 



genügt. Demnach ist Q = eP' und folglich auch .%„ = es^^. Dann 

 ergeben sich aus (6.), § i die Formeln 



s = «1 + •2(;2 + 3^3 + 4(?4 + ■ • ■ , t ^ 6^ + 2e3 + 3e.i + • • ■ , 



die mit den Relationen (8.) übereinstimmen. 



Zum Schluß erwähne ich eine Verallgemeinerung der Relation 

 (7.), § I, die auf demselben Wege erhalten wird, und die Bedeutung 

 jener Formel noch klarer hervortreten läßt: Sind A und B zwei kon- 

 stante Matrizen, und ist 



(9.) AR = RB, 



so ist bekanntlich der Rang von li nicht größer, als der Grad des 

 größten gemeinsamen Divisors der beiden charakteristischen Funktionen 

 \xE-A\ und \xE-B\. 



Sind nun o, , o, , 0-3 , • ■ ■ und b^, b.^,b.^, ■■ ■ die Elementarteiler dieser 

 i beiden Determinanten, so ist die Anzahl der linear unabhängigen Ma- 

 trizen E, die der Bedingung (9.) genügen, gleich 



(10.) %e«3, 



WO e„ii den Grad des gi-ößten gemeinsamen Divisors von fl„ und bs, 

 bedeutet. 



