14 Gesaniintsitzung vom 6. Januar 1910. 



Ist LCL-' = C und CR = RC, so ist 

 RLC^ RC'L = CRL. 



Daher ist RL — U mit C vertauschbar. Ist umgekehrt U mit C ver- 

 tauschbar und 7^ = UL~\ so ist Ci2 = RC. Da die Determinante 

 von L nicht verschwindet, so ist die Anzahl r der linear unabhängigen 

 Matrizen R gleich der Anzahl der linear unabhängigen Matrizen U: 



(7.) 7- = w + 2n, + 2«-. + ••• • 



Demnach ist 



(8.) * =: W + Wi + ?«2 + ■ • • , t ^ Hi + 71-2 + ■ ■ ■ . 



Ist ?ii ^ 0, so ist auch n^ ^= , n^ =^ , ■■ ■, und mithin ?• = s ^ n 

 und t ^ 0. 



Tl'Vw?« die Determinanten {n — \)ten Grades der Matrix C-xE keinen 

 Teiler gemeinsam hahen^, so ist Jede Lösung R der Gleichung CR = RC 

 eine synimetrisdie Matrix. 



Zu diesen Formeln kann man aber auch auf dem vorher benutzten 

 Wege gelangen : Sei s - + 1 und P so bestimmt, daß 



PA = sAP' 

 ist. Dann ist, da die Normalform A symmetrisch ist, 



LB = AM, B'L' = M'A 



und mithin 



PM'-'B'L' = eLBM-'P', {L-'PM''')B' = iB{M-'P'L'-') . 



Nun sei 



L-'PM'-' ^ BU+R, 



wo R eine konstante Matrix ist. Dann ist 



M-'P'L'-' = U'B' + R' 

 und folglich 



{BU+R)B' = eB{U'B' + R'), B(U-sU')B' = sBR'-RB' . 



Daraus ergibt sich wie oben 



U=eU', R^eR', BR = RB'. 



Ist umgekehrt R =^ eR[ und BR = RB', so sei U eine willkür- 

 liche Matrix, die der Bedingung U =^ eU' genügt. Setzt man dann 

 P = L(BU+R)M', so ist PA=^eAP'. Sind P und P-P, zwei 

 dieser Gleichung genügende Matrizen, denen dieselbe konstante Matrix R 

 entspricht, so ist 



X->P„.U'-' = BUa , P„ = LBUoM' = AMU.AI' = AT, 



