P'robenius: Über die mit einer Matrix vertauschharcn Matrizen. IH 



Ist L irgendeine Matrix von nicht verschwindender Determinante, 

 so folgt aus ( I .) 



{LCL-')(LRL') = (LRL'){L'-WL'), 

 oder wenn man 



LCL~' = Q, LRL' ^-^ Ro 

 setzt, 



CoRo = RoC:>. 



Daher haben die Zahlen s und t für jede Form LCL'^ , die der Form C 

 •ähnlich ist, dieselbe Bedeutung wie für C. Nun kann man L so 

 wählen, daß LCL~^ =^ C wird. Mithin haben s und t auch für C" 

 dieselbe Bedeutung wie für C. Es gibt also s uuabliängige symme- 

 trische Formen P, , P^, ■ ■ , die der Bedingung 



(5.) C'P=.PC 



genügen. 



Die _^ n(n- l) Elemente /„j -- - (;„ der alternierenden Matrix T 



seien unabhängige Variabein. Dann ist 



CT- TC = S 



eine symmetrische Matrix, deren - n{n + 1) Elemente s„g = Sj,, lineare 



Funktionen der Variabein if„j sind. Ist nun P eine Lösung der Glei- 

 ,chung (5.), so ist 



X(PS) = x{f'>"n-x{PTV') = x(FCT)-x{C'Pr) = xi{PC-C'P)T) = 0. 



Ist umgekehrt P irgendeine solche konstante symmetrische Matrix, 

 daß zwischen den Funktionen .s„3 der unabhängigen Variabein /f„5 die 

 identische Gleichung %(PS) = besteht, so ist y^{{PC- C'P)T) =- 0, 

 und folglich verschwinden alle Elemente der alternierenden Matrix 

 PC- C'P. 



Zwischen den „ «(« + 1) Funktionen .s„3 bestehen demnach genau 

 .'-• unabhängige lineare Relationen %(PiS) = 0, y^iP^S) ~ 0, •••. Folg- 

 lich sind unter ihnen _^n(n + l}-s unabhängige Funktionen. Die 



linearen Gleichungen CT-TC = zwischen den n{n~\) Unbekann- 

 ten tn haben mithin 



-— n('«- 1)- (—«(«+ \)-s\ 



unabhängige Lösungen. Da wir die Anzahl ihrer Lösungen mit t 

 bezeichnet haben, so ist 



(6.) s — t =^ n . 



