12 Gesamiiitsitzung vom 6. Januar 1910. 



Ist A eine konstante, R eine veränderliche Matrix, deren Ele- 

 mente r„; )r iin;il)li;1ngiii'e Variable sind, so ist y_,{AR) eine lineare 

 Funktion dieser Variabein. Sind die Matrizen A,B,C, ■■■ linear un- 

 abhängig, so sind es auch die Funktionen y^{AR), %{BR) , %{CR) , ■•■. 



Ist T eine alternierende Matrix, deren Elemente t„i = — (j„ unab- 

 hängige Variable sind, und ist A eine konstante alternierende Matrix, 



so ist %(AT) eine lineare Funktion der - n(n-\) Variable /„j. Da 



4«. = ^ und o„3 ^a„ = %„ '„5 ist, so hat /„3 den Koeffizienten Sa-^ . 

 Sind die alternierenden Matrizen A,B,C,-- linear unabhängig, so 

 sind es auch die linearen Funktionen y^{AT) ,y^{BT) ,%{CT) , ■■■ . 



Ähnliche Überlegungen gelten für eine symmetrische Matrix »S, 

 deren Elemente s„^^ := So„ - «(«+1) unabhängige Variable sind, 



falls die konstanten Matrizen A,B,C, •■■ ebentalls symmetrisch sind. 



Ist C eine gegebene Matrix, so betrachte ich jetzt alle Matrizen R, 

 die der Gleichung 



(i.) CR = RC' 



genügen. 



Da diese n^ Gleichungen zwischen den n'^ Unbekannten r„,3 linear 

 sind, so haben sie eine Anzahl r von unabhängigen Lösungen R^, R^, ■ ■-, 

 aus denen sich jede Lösung R = c^Ri + C2R„+ ■■■ zusammensetzen 

 läßt. Nun folgt aus (i.) durch den Übergang zu den konjugierten 

 Matrizen 



(2.) CH' = R'C' 



Ist Ä + Ä' = 2 S und R~R' = 2 T, also R ~ S + T, so ist da- 

 her auch 



(3.) CS=SC', CT=^TC', 



wo S eine symmetrische und T eine alternierende Matrix ist. 



Sei .'!; die Anzahl der unabhängigen symmetrischen Matrizen 

 <Si, <Sj , • ■ • , t die der alternierenden 1\ , T„, ■■■ , die der Bedingung (3.) 

 genügen. Zwischen den s -{- 1 Matrizen kann keine Gleichung 



ff, Si + a2'S2 + • • • + bil\ + bil\ + • • ■ =0 



bestehen, weil daraus durch den Übergang zu den konjugierten 

 Matrizen folgen würde 



OiSi+a^-S., + b,T,-b.a\ = 0. 



Da ferner jede Lösung R der Gleichung (i.) aus einer symmetrischen 

 und einer alternierenden zusammengesetzt werden kann, so ist 

 (4.) r = s + t. 



