FnonENirs: Über die mit einer Matrix verlansciibai'en Matrizen. 11 



daß B' ^ C wird. Ist demnach C =. Je, so ist B' = A-, und B f{A~) 

 ist nicht nur mit R, sondern auch mit A vertauschbar. Setzt man also 



P= AB-' = B-'A, 

 so ist 



P^- = A^B--' = E 

 und 



P-'RP= A-'(BIiB~')A = A 'RA = A' • . 



Setzt man endlich 



Q = PR= P'H, R = PQ, 



so ist 



Q2 = (P~'PP)I{ = Ä-'i? = E. 



Ist nun R eine orthogonale Matrix, so kann man R durch eine 

 symmetrische Substitution A in R' = R'^ transformieren. Dann ist auch 

 B =^ f{A^) und P ^ AB ' symmetrisch als Funktion von A, und 

 folglich ist P ^ P~' = P' eine orthogonale Matrix, und ebenso 



Q = PR= Ä->P = R'P' = Q' . 



Jede ortlioyonale Substitution kann aus zwei symmetrischen orthogo- 

 nalen (involutorischen) Substitutionen zusammengesetzt werden. 



Ist die orthogonale Matrix R reell, so kann auch die symme- 

 trische Matrix A , die dem System linearer Gleichungen RA ^= AR' 

 'genügt, reell gewählt werden. Dann ist Ä' =-- AAl die Matrix einer 

 positiven quadratischen Form und mithin sind ihre charakteristi- 

 schen Wurzeln alle positiv. Demnacli kann man auch der Gleichung 

 /(A^)^ = Ar durch eine reelle Funktion/ genügen. Eine reelle ortho- 

 gonale Substitution kann folglich aus zwei reellen symmetrischen ortho- 

 gonalen Substitutionen (Spiegelungen) zusammengesetzt werden. 



§4- 



In der Formel (8.), § i kommt die Zahl ;* nur einfach, die Zahlen 

 «1, ?«j, ••• aber doppelt vor. Dieser etwas befremdende Umstand 

 hat mich auf die Untersuchung geführt, zu der ich micli jetzt wende. 



Die Spur einer Matrix P bezeichne ich mit 



Dann ist 



und mithin 



x{PQR) = xifm') = x{RPQ) 



