10 Gesainmtsitzung vom 6. Januar 1910. 



Eine symmetrische Matrix P kann man immer auf die Form 

 RR' bringen. Dann nimmt die letzte Gleichung die Gestalt 



R~'CR = R'C'B'-' 

 an. 



Zu Jeder bilinearen Form C gibt es eine ähnliche Form R^^CR, die 

 synunetrisch ist. 



Sind die Elementarteiler von | xE- C | alle linear, so hat die 

 Normalform von C diese Eigenschaft. 



Sind die Elemente von C reell, so können die rationalen Opera- 

 tionen, wodurch C auf die Form PQ gebracht ist, alle im Gebiete der 

 reellen Größen ausgeführt werden, so daß auch die Elemente der beiden 

 symmetrischen Matrizen P und Q reell werden. Dann kann man P 

 durch eine reelle orthogonale Substitution L in L' PL = R transfor- 

 mieren, worin r^g = ist, falls a von /3 verschieden ist, und r„„ = /•„ reell 

 und von Null verschieden ist. Setzt man L'QL = S, so wird L'CL = RS. 



Jede reelle bilineare Form ^ c„n,x^yg, kanUj, indem beide Reihen von 

 Variabein derselben reellen orthogonalen Substitution unterworfen werden^ in 

 eine Form ^ r^s^o,x„yg, transformiert tcerden^ worin s„ß = s^„ ist. Atißer- 

 de?n kann erreicht iverden^ daß die n reellen Größen r„ alle von Null ver- 

 schieden sind. 



Die obigen Ergebnisse kombiniere ich mit dem folgenden Satze 

 (Wilsonj Transactions of the Connecticut Acad. I90S, S. 41; Jackson, Trans- 

 actions of the Ameriean Math. Soc. Bd. 10^ S. 47,9): 



Jede MatriXj die der reziproken Matrix ähnlicli kt, läßt sich aus zwei 

 involutorischen Matrizen zusammensetzen. 



Ist die Form R der reziproken Form Ä""' ähnlich^ .so kann R durch 

 eine involutoriscJie Substitution in R"'^ iransformiert werden. 



Für diesen Satz will ich zunächst einen einfachen Beweis mitteilen. 



Involutorisch heißt eine Matrix P, wenn sie der Gleichung 



P^::=E, P=P-' 



genügt. Ist R - PQ das Produkt von zwei involutorischen Matrizen, 

 so ist R~' = QP, also 



P-'RP=:E-\ Q-'RQ = Ii-'. 



Sei umgekehrt die Matrix R der reziproken Matrix ähnlich. Ist 

 A~^RA := i2"', so ist R mit A^ vertauschbar, also auch mit jeder 

 Funktion B = f(A^) von A"^. Ist C eine Matrix von nicht verschwin- 

 dender Determinante, so kann man die Funktion B = f{C) so wählen, 



