Frobenu'.s: Ülier die mit einer Matrix vcrtauschliaren Matrizen. !' 



§3- 

 Aus der Gleichung LH = AM folgt, da die Nornialtbrm ^1 sym- 

 metrisch ist, durch tTbergang zu den konjugierten Matrizen B'L 

 = M'A und mithin B\L'M) =^\M'L)B, oder wenn man L'M = H setzt, 



(i.) B'H = H'B, 



wo H eine ganze Matrix der Determinante I ist. 



Nun bestimme man eine ganze Matrix V und eine konstante 

 Matrix <S so, daß 



H=VB + S 

 ist. Dann ist 



B\VB + S) = (B'V + S')B, B'(V-r)B = S'B-B'S. 



Daraus folgt, wie oben, V = V und S'(xE-C) = {xE-C')S, also 

 *S' =: aS und 



SB = B'S , SC = CS . 



Da H^ = //"' eine ganze Matrix ist, so kann man eine ganze 

 Matrix V^ und eine konstante Matrix 6\ so bestimmen, daß 



H,= V,B' + S, 

 wird. Dann ist 



E = H,( VB + S) = H,VB + {V,B' + S,)S, 



'oder weil B'S = SB ist, 



E~S,S = {H,V+\\S)B. 



Daher ist HiV+ V^S = 0, weil sonst die rechte Seite in x mindestens 

 vom ersten Grade wäre, während die linke konstant ist. Folglich ist 



<Si <S = E , 



und mithin ist die Determinante von S nicht Null. 



Demnach ist nicht nur S und P = S^ = S'^ eine symmetrische 

 Matrix, sondern auch »SC = CS = Q, und folglich ist 

 (2.) C=PQ, C'=QP. 



So ergibt sich der merkwürdige Satz: 



Jede Matrix läßt sich als Produkt von zwei symmetrischen Matrizen 

 darstellen. Man kann diese stets so loahlen, daß die Determinante der 

 einen von Null verschieden ist. 



Oder: 



Sind C und C konjugierte Formen, so kann man eine symmetrische 

 Substitution P von nicht verschwindender Determinante bestimmen^ die C kon- 

 tragredient in C transformiert^ P'^CP = C. 



