Frobrnius: ÜTier die mit einer Matrix vertauscliliaveii Matrizen. / 



Ist spoziell P =z Q =z (j{;r)E , wo (j{x) eine ganze Funktion von x 

 ist, so wird Ir^PL = g(x)E und 



(3-) li = 9(C). 



Entspricht einem Matrizenpaar P, , Q, vermöge der Beziehung (4.), 

 § I die Matrix R^ und dem Paar P„ , Q^ die Matrix R^ , so entspricht, 

 wenn r/, und c/„ Konstanten sind, dem Paar ffiPi + (J^P^, <JiQi + (/..Q-i 

 die Matrix r/i /?, + 7„Ä, , und dem Paar Pi P, » Qi Q2 (das auch der Be- 

 dingung (2.), § I genügt) die Matrix RiR^. Denn aus 



folgt 



L-'P,L = Blh + R,, L-'P.,L=^ Bl, + B., 



L-'[PJ',)L = Bl'+R, 

 wo 



R = R, R, , U = l\ BV, + U, R^ + { ; R, 



ist. Dem Paar f/(.v) P, (/{.v) Q entspricht daher die Matrix f/(C) R = R(j{C). 

 Entspricht dem Paare P^ , Q^ die Matrix R^ , so entspricht dem Paare 



die Matrix 



R=X94C)R.. 



Die allgemeinste mit C vertauschbare Matrix R haben wir aus /• linear 

 unabhängigen Matrizen R zusammengesetzt, 



mit ?• willkürlichen Konstanten //,. Lcäßt man für die Faktoren g ganze 

 Funktionen r/(C) von C zu, so kann man R aus nur m" Matrizen P„ , 

 aber nicht aus weniger, in der Form 



R = %ffAC)R^ 



zusammensetzen. 



Setzt man nämlich in dem reduzierten Paare (6) § 1 .s„, = 1, aber 

 alle anderen .s„3 = (\ so möge man das Paar P^^, Q„> erhalten. All- 

 gemein ist s^^ = (j,-^{x) eine ganze Funktion, deren Grad gleich der 

 kleineren der beiden Zahlen e^-\ und f^-1 ist. Dann nimmt jene 

 Formel die Gestalt 



P = X ^"^ (^' * ^'•" • Q = 2 ^«"^ ^''^ ^■" 



