4 Gesaimiitsitzuna; \()in I). Januar 1910. 



Die Form B =^ xE—C gehe durch die Substitutionen L und M'^ 

 in A über, so daß 



(i.) LB = AM, LBM-' = A 



ist. P und Q seien irgend zwei g<anze Matrizen, die der Bedingung 



(2.) PA = AQ 



genügen; also nicht nur in P, sondern auch in A'^PA = Q sollen 

 die Elemente ganze Funktionen von x sein. Dann ist 



P(LBM- ' ) = (LBM- ' ) g , {L~'PL)B=: B{M-' QM ) . 



In der Form B ist die höchste Potenz von x, die erste, mit der 

 Form E multipliziert, deren Determinante nicht verschwindet. Daher 

 kann man durch ein der Division verwandtes Verfahren eine ganze 

 Matrix ZT und eine konstante Matrix R so bestimmen, daß 



L-'PL:^Bl'+/i 



wird, und es sind der Quotient U und der Rest R völlig bestimmte 

 Matrizen {Theorie der linearen Formen mit ganzen Koeffizienten, § 13; 

 Grelles Journal Bd. 86). Ebenso kann man 



M-'QM= U,B + R, 



setzen, wo R^ eine konstante Matrix ist. Dann ist 



(Blf+R)B =B{U^B + R,), B{U-U,)B = BR,-RB. 



Wäre nun U-Ui von Null verschieden, so wäre die linke Seite 

 in .!• mindestens vom zweiten, die rechte aber nur vom ersten Grade. 

 Daher ist U, ^ U und (xE- C) R, = R(xE-C), und mithin, da C, R 

 und jRj von x unabhängig sind, ii'i = R und CR = RC. Aus jedem 

 Matrizenpaar P, Q, das der Bedingung (2.) genügt, ergibt sich so, 

 wenn L und M bekannt sind, eindeutig eine konstante Matrix R, die 

 mit C vertauschbar ist. 



Sei vmigekehrt R irgendeine solche Matrix, also 



(3.) RB=BR. 



Sei U eine willkürlich angenommene ganze Matrix, und 



P=L (HU + B) L-\ Q = M{UB + R) .17-' 

 oder 



(4.) L~'PL = BU + R, M-' QM = IB+R. 



Dann ist 



{L~'PL)B = B{M-'QM), P{LBM-') ^. (LBM-')Q, 



und mithin P^'l = AQ. 



