Frobenius: Über die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen. B 



Über die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen. 



Von G. Frobenius. 



Ist C eine Matrix des Grades n, so ist die Anzahl r der linear un- 

 abhängigen Matrizen K, die mit C vertauschbar sind, 



r = n + 2 (hi + W2 + «3 + ■ • •) ' 



wo iii der Grad des größten gemeinsamen Divisors aller Determinanten 

 (/i-A)ten Grades der Matrix 



xE-C=B 



ist. Diese Formel habe ich am Ende des § 7 meiner Arbeit Über 

 lineare Substitutionen und hiUneare Formen^, Grelles Journal. Bd. 84, ohne 

 Beweis angegeben. Hr. Maurer in seiner Dissertation Zur Theorie der 

 linearen Substitutionen, 1887, Hr. Voss, Sitzungsber. d. Bayr. Akad. d. 

 Wiss. 1889, und Hr. Hensel, Grelles Journal Bd. 127, haben diese 

 Formel aus der Transformation von C in die Normalform von Weier- 

 STRAss hergeleitet. Einen anderen Beweis, der nur rationale Opera- 

 tionen erfordert, hat Hr. Landsberg in seiner Arbeit Vber Fundamental- 

 systeme und bilimare Formen, Grelles Journal Bd. I/IH, entwickelt mit 

 Hilfe der Normalform A, auf die ich B durch zwei Transformationen 

 L und M gebracht habe, deren Koeffizienten ganze Funktionen von x 

 sind, während ihre Determinanten von x unabhängig sind. Dieser Be- 

 weis ist aber durch das Hineinziehen des Begrifis des Fundamental- 

 systems unnötig kompliziert worden. Wenn die Transformation von 

 B va. A bekannt ist, so ist die folgende Methode, alle mit G ver- 

 tauschbaren Matrizen R zu finden und die Anzahl r der unabhängigen 

 darunter zu ermitteln, die natürlichste und einfachste. 



§ I- 

 Wenn die Elemente einer Matrix ganze Funktionen einer Varia- 

 bein X sind (und nur solche Matrizen werden hier benutzt), so nenne 

 ich sie eine ganze Matrix ; wenn die Elemente von x unabhängig sind, 

 eine konstante Matrix,. Sind die Determinanten von L und M gleich i , 

 so sind auch die reziproken Matrizen X"' und M'^ ganz. 



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