SciioriKv: AiiKi.'sclic Functionen vom Gesclileclite 3. 18o 



die Haupttaugente P' = o, die zugleich Weudetangente der Curve 

 P z= o ist. 



Man sieht dies, mit einiger Reclmung, aus der letzten Form, in 

 der wir Q dargestellt haben. Indem man zu der bilinearen Gleichimg 

 noch die partiellen Differentialgleichungen hinzunimmt, denen X, Y, Z 

 als homogene Functionen von x,i/, z genügen, kann man in der Glei- 



V ,., . 9^ 9^ 3^ . 9^ 31^ .. . 



chung L = o die Ableitungen ^ — , -^ — , -^ — , ferner r. — , ^=r — elimi- 



üx oy dz oz oz 



nireu; das Resultat ist: 



vx oy \^y oa: 



Es zeigt deutlieh, dass die sieben festen Punkte Doppelpunkte der 

 Curve sechsten Grades L = o sind; somit ist diese vom Geschlecht 3. 



Wenn nun der Punkt (x' , y', z') auf der Curve Z = o liegt, so 

 können wir jetzt in der quadratischen Function Q die Coefficienten 

 von xy , xz und yz: 



ersetzen. Dann ergiebt sich unmittelbar: 

 wo R die lineare Function von x ,y , z ist : 



X dx' jj_dr z dz' 



^^"dZ~^T^d^'"^~Z^ dz' ' 



Wir nehmen jetzt nicht nur x, y' , z auf der Linie L ■=■ o an, 

 sondern beschränken auch den variabeln Punkt x,y , z auf diese Curve. 

 Ist {x,y , z) der dem Punkte {x , y' , z') unendlich nahe Punkt der Curve : 

 x'-i-dx', y'-i-dy', z'-hdz', so ist, bis auf unendlich kleine Grössen 

 höherer Ordnung, P' mit A', Q mit 2A' identisch. Daraus folgt, dass 

 R den Werth 2 erhält, wenn man {x , y , z) mit (x, y', z') zusammenfallen 

 lässt. Nennen wir ferner R' denjenigen Ausdruck, der aus R dui-ch 

 Vertauschung der beiden Werthsysteme hervorgeht, so ist, wegen der 

 alternirenden Eigenschaft von Q: 



Q = P'R = —PR'. 



