SntoTiKv: AnEL'sche Functinnen vom Geschlechte 3. 191 



Sind ferner w, , Wj , «,, dieselben linearen Functionen von X, Y, Z , 

 und i\ , i\ , ü,2 dieselben von X', I", Z', die ?ü, , w^ , mj„ von "k, !x,v sind, 

 so geht die Gleichung h(X , Y, Z) := (pt% welche gilt, wenn der Punkt 

 {x , 1/ , ~) auf der Curve L = o liegt, bei der Anwendung auf den vor- 

 liegenden Fall über in 



U,U,U,, = (1)1], . 



Nun ist aber h{X ,Y, Z) , betrachtet als Function neunten Grades 

 von x,y , z , durch t theilbar (auch wenn x ,y , z unabhängige Grössen 

 sind). Es muss daher die in den sieben festen Punkten verschwin- 

 dende kubische Function m„ durcli t^^ theilbar sein, w.^ zerfallt in 

 zwei Factoren, einen linearen, der in den Punkten i, 2, und einen 

 quadratischen, der in den fünf übrigen festen Punkten verschwindet. 

 Die Curve w,^ = o zerfällt in eine Gerade und einen Kegelschnitt, und da 

 die Schnittpunkte beider Linien Doppelpunkte der zerfallenden Curve 

 w,j ^ o sind, so liegen auch sie auf der Linie L ^ o. 



Auch die Curve w, = o hat eine bestimmende geometrisclie Eigen- 

 schaft; sie ist diejenige durch die sieben festen Punkte hindurch- 

 gehende Curve dritter Ordnung, die im Punkte (i) einen Doppelpunkt 



8 m, 

 besitzt. Denn da u, = a,X-^h,Y-\-c,Z ist, so ist der Werth von -?=, — 



ox 



im Punkte ((/, , l\ , (\) mit dem von 



3A- 8F 8Z 



x -^ f- y -^ -\-z -^ — 



öx ox ox 



identisch. Der hingeschriebene Ausdruck ist aber, der bilinearen Rela- 

 tion zufolge, gleich — A', und A" verschwindet im Punkte (o, , 6, , r,). 

 Folglich ist für x = a,, y = b, , z = c^ nicht nur «, = o, sondern 



du, 3 m, 3 m, 



auch -F^ — = o, -7=, — = o, -„ — = o. 



ox oy oz 



Fasst man aber x,y ,z auf als Punkt der Curve L = o, so wird 

 M,, wenn man sich dem Doppelpunkte (i) nähert, auf einem der beiden 

 Zweige, die sich dort schneiden, nicht nur von der zweiten, sondern 

 sogar von der dritten Ordnung o. Denn es werden im Punkte (i) 

 (p von der dritten, t]^ von der zweiten, m, und u,, aber nur von der 

 ersten Ordnung o. 



Damit sind in bezug auf die Curve i = o die Ausdrücke m. , 

 Mj . . u, charakterisirt. Sie verschwinden nur in den Doppelpunkten, 

 aber in je einem von der dritten Ordnung. Es folgt daraus weiter, 

 dass das Product von u, ,u, ■ ■ m, an denselben Stellen und von derselben 

 Ordnung verschwindet wie <p^. Beide Ausdrücke sind auch von der- 



