SmoTiKv: ÄBEi.'sche Functionen vom Geschleclite 3. 193 



Zweige, von der ersten Ordnnng verschwindet. Es seien a , Ij , c die 

 Werthe von x , y , c für t = o, also die Coordinaten des Doppelpunktes. 

 Nach dem, was wir bewiesen haben, verschwindet «A'-+- 6Fh-cZ für 

 r = o von der dritten Ordnung; es verschwindet also für t = o auch 

 der zweite Differentialquotient des Ausdi-ucks. Daher ist für r = o : 



d'X d'Y d'Z 



'~dr^ 



Wir schreiben dafür kurz: 



dr' ^ dr' dr^ 



^X-— - =: O für T =: O. 



d 

 Der bilinearen Relation zufolge ist: 



2c?'A" _-A dx dX _-A ^^ d^x 



Da hier der erste und letzte Term auf der linken Seite gleich o ist 

 für T =: o , so ist auch 



d /^ ^^c?^\ 



It[^^ dr) ~ 



A^^XT\=o für r = o. 



Folglich verscliwindet ^-Y , für r ^ o von der zweiten Ordnung. 



Wir können daher sagen, dass der Difi<erentialausdruck 



Xdx ■+- Ydy + Zdz = A 



in allen Doppelpunkten von der zweiten Ordnung verschwindet. Er 

 ist in Bezug auf a;,y, ~ von der Dimension 4. Wenn wir jetzt unter U 

 eine ganz beliebige lineare Function von X, Y, Z verstehen, oder, was 

 dasselbe ist, eine beliebige in den sieben festen Punkten verschwin- 

 dende kubische von {x,y,z), so ist f/A von der Dimension 7, ebenso 

 wie <p; ausserdem verschwindet <p in den Doppelpunkten von der 

 dritten Ordnung und I7a ebenfalls. Es ist daher 



Z7A 



das Differential eines Integrals erster Gattung. 



Das aufgestellte Differential verschwindet in vier Punkten, nämlich 

 den von den Doppelpunkten verschiedenen, in denen TJ verschwindet. 

 Nehmen wir speciell U = u,, oder U = w,, , so fallen die vier Null- 

 punkte des Differentials paarweise zusammen. Sie fallen zusammen 

 entweder mit dem Doppelpunkte (i), der doppelt zählt, oder mit den 



