196 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 17. Februar 1910. 



Die Quotienten der 36 aufgestellten Doppel-Diflerentiale 



7j'AA' und 





('».ß.J' = «.2--7. 



nehmen also den Werth i an, wenn man (x,y,z) mit {x',y',z') zu- 

 sammenfallen lässt. 



§6. 

 Hiermit sind die Grundlinien gezogen für eine Theorie der Abel- 

 schen Functionen vom Geschlechte 3. Sie operirt mit den algebra- 

 ischen Vorstellungen Riemann's, muss aber schon deshalb eine geome- 

 trische genannt werden, weil zu ihr die Gedanken der Geometer 

 Aeonhold und Geiser gehören. Es ist nicht nur das für die Theorie 

 wichtige Doppel-Differential x^AA' gegeben, sondern es ist auch die 

 Einführung des Systems der 64 Tlieta vorbereitet und geometrisch 

 motivirt. Es sind im Ganzen 64 Difierentiale mit zusammenfallenden 

 Nullpunkten aufgestellt; 28 einfache von der ersten, 36 doppelte von 

 der zweiten Gattung. Die letzteren hängen symmetrisch von den 

 beiden Punkten (.r, y , 2^) und {x',y',z') ab und werden singulär wie 



dT dr' 

 (r-r'y ' 



wenn die beiden Punkte zusammenfallen. 



Indem wir die 2 8 einfachen Differentiale, die nur von {x ,r/ , z) 

 abhängen, mit den entsprechenden für den Punkt {x',y',z') gebildeten 

 multipliciren, erhalten wii* im Ganzen 64 symmetrische Doppeldiffe- 

 rentiale. Ihnen sind nach den RiEMANN'schen Sätzen, bis auf constante 

 Faktoren, diejenigen Functionen von {x ,y , z) , {x',i/', z') proportional, 

 in welche die Quadi-ate der 64 Theta übergehen, wenn man jede der 

 drei Variabein ersetzt durch das entsprechende Integral, erstreckt von 

 dem einen bis zum anderen Punkte. 



Wir wollen sie zusammenstellen, indem wir dabei die Faktoren 

 A , A' fortlassen. Es sind nur vier Hauptausdrücke, aus denen alle 

 übrigen dui'ch Vertauschung der Grundpunkte hervorgehen: 



%.. 



Hierbei ist: 



2% = 



PP" 



%,2 = 



% ; 





2 %„3 = 



PP' 



p<p P'<p' ' 



