200 Gesammtsitzung vom 24. Februar 1910. 



Über den FERMATschen Satz. 11. 



Von G. Frobenius. 



Wenn es für eine ungerade Primzahl p drei durch p nicht teilbare 

 Zahlen gibt, die der Gleichung 



aP + 6? + cP = 



genügen, so muß p, wie Hr. Wieferich gefunden hat, die Bedingung 



«2P-i= 1 (mod. p^) 



erfüllen. Ist dann 2 ' - 1 durch p teilbar und r ein Divisor von 

 ^ - 1 = rs , so ist 2-1 durch p' teilbar, weil 



2?-' — 1 



—_'-- = 1 + 2'+ 2^'- + ■ • ■ + 2'(«-') = s 



den Faktor p nicht enthält, und dasselbe gilt für 2^ + 1. 



Durch eine höchst geistvolle Analyse ist es Hrn.MiRiMANOFF {Comptes 

 Rendus 1910) gelungen, die wahre Quelle jener Beziehung zu entdecken, 

 und daraus weitere Relationen herzuleiten, deren bemerkenswerteste die 

 Bedingung 



SP-' = 1 (mod. p'*) 



ist. Da er aber beim Beweise Einheitswurzeln und unendliche Reihen 

 anwendet, so habe ich versucht, seine Resultate auf rationalem Wege 

 abzuleiten, nur mit Benutzung der elementarsten Sätze der Algebra 

 und Zahlentheorie, und dazu bin ich mit Hilfe der Rekursionsformel 

 gelangt, wodurch die BERNOULLischen Zahlen definiert werden. Andere 

 Eigenschaften dieser Zahlen setze ich nicht voraus, auch nicht den 

 Satz von Staudt. Auch die Ergebnisse der Arbeit des Hrn. Mirimanoff 

 im 128. Bande des ÜRELLESchen Journals werde ich (§ 3), soweit ich 

 sie brauche, aufs neue ableiten. 



§ I- 

 Um mit den BEENOULLischen Zahlen bequem rechnen zu können, 

 bezeichne ich sie nach Lucas als symbolische Potenzen 



