Frobenius: Über den FERMAT'schen Satz. IL 201 



Dann genügen sie der Rekursionsformel {b -{- 1)" - b" = , mittels 

 deren nb"~^ durch i'/"% ••■ i° ausgedrückt wird. Daher ist der Nenner 

 von h"'^ ein Divisor von n\. Für n = 1 ist aber jene Formel durch 

 (A -f- 1 ) - i = 1 zu ersetzen. Fügt man mehrere solcher Relationen, mit 

 Konstanten multipliziert, zusammen, so erhält man die allgemein gül- 

 tige Formel 



(I-) /(6 + l)-/(6)=/'(0), 



worin /(.r) irgendeine ganze Funktion von x bedeutet. 

 Bewegt sich r von bis /)-l, so ist 



(2.) ^V.y) = 2(r)(-^-i 



eine ganze Funktion der beiden Unbestimmten x und y, die in bezug auf 

 jede vom (p-l)ten Grade ist. Entwickelt man sie nach Potenzen 

 von y, so ist das Anfangsglied (?• = 0) gleich 1. Ist n eine der Zahlen 

 von 1 bis j9 - 1 , so ist 



der Koeffizient von y in ( ^ | = ^- — '- ^ '-^ gleich — — . 



Daher ist 



(3.) _F;{x,0)=f(x)=^-^-^^^^. 



Allgemein ist für s = 0, 1,-p-l (aber nicht für s ^ p) 



F{x , s) = x' {s < p) . 



Die Funktion {p-l)ten Grades F{0,y) hat demnach für y =0 den 

 Wert 1, für y = l ,2 ,-p-l den Wert 0, und ist mithin 



Ist m eine positive ganze Zahl, so ist 



F(a;,s)x-" = x'+'" = ^ /* + "*j(^_l)' 



wo sich r von bis ^-1 bewegt und 



(5.) aw= 2 (;::)<-"* 



ist. Nun sei G{x , y) die ganze Funktion (p -l)ten Grades der Variabelny, 

 die für y = s(= 0,1, •••p-1) gleich H,{x) ist. Dann stimmen die beiden 

 ganzen Funktionen (p-l)ten Grades von y 



F{x,y)x- = ^iy\"^yx-iy+{x-l)PG{x,y) 



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