Frobenius: Über den FERMAT'schen Satz. II. 207 



(4.) (a;"'-l)i^„(a;) +f[x) = [x-\)pxG,,{x) 



auch Gj„(x). Dies kann man auch erkennen, indem man die Kon- 

 gruenz (10), § 3 differenziert und dann a; = -1 setzt. Nach Cauciiy 

 ist die Funktion 



xf — \ — (x — \V 



V~^ "^^^"^ 



durch x"-.r + l teilbar, also auch ö,.„(a-). Weil G„ ist, so ist 

 f{x) -^ -{x^- 1) F^{x) durch x'' -\- x + \ teilbar, mithin auch ^^„(a-) . Die 

 Funktion G^{x) verschwindet fär o: = 1, -1, -1, also identisch. Daher 

 ist f{x) und Gi„{x) durch x"^ + 1 teilbar. Die Funktion G^Xx) ist durch 

 {x -\)(x + \f {x^ - x -\- \) teilbar, also Null, ebenso, falls j9>.5 ist, G^(x), 

 das durch {x-\){x + \f [x"' + 1) teilbar ist, und außerdem noch für zwei 

 Werte (i) verschwindet. Demnach ist /(.i) und Cr,,„(''') durch .r* -f 1 

 teilbar. Also ist 



{x-\)f(x) durch (.c'^-I) (j;* - 1) (iiiod.p) 



teilbar. Dagegen läßt sich für G.^{x) auf diesem Wege nur feststellen, 

 daß es einem der beiden Ausdrücke 



^p 5 e^p 5 



r (^^+1) oder - - \x+\){x-'2)i2x-\) 



kongruent ist, dem ersten nur, wenn p = 6?i4-l ist. Ist also nicht 



5P-' iir 1 (med. jo^), 



so können die Kongruenzen (1) nur die Wurzeln -1, 2,— gemeinsam 

 haben oder wenn ^ = 6?z + 1 ist, die Wurzeln der Kongruenz x^ ^ : -I. 



§5. 

 x(x-\)''-'^ und 



Da die beiden Funktionen 



x"'-\ 



x-\ 



der Grade p und q = /n-l teilerfremd sind, so kann man zwei ganze 

 Funktionen 



F{x) und G{x) 



der Grade p-\ und q-l so bestimmen, daß 



x(x~\y^^G(x)-^^F{x) 



gleich der gegebenen ganzen Funktion 



fix) ^ ^ (1-^)"- 



