Schwarz: Beispiel einer stetif^eii Function. 5Jd 



1. (p{x) ist für alle positiven Werthe von .r endlicli, stetig, ein- 

 deutig und wächst beständig mit x; 



2. (p'ix) ist an keiner Stelle kleiner als 1 und der Differenzen- 

 quotient 



cp( x,)-cf,(a;,) 

 x,_ —X, 



ist beständig grösser als 1 ; 



3. bei passender Bestimmung der Constanten C„ und C, kann 

 man setzen 



cp {x) < 6'„ + (-'1 X . 



Bezeichnet nun ^ die Summe der für alle zwischen und 1 liegenden 

 Werthe von x unbedingt und in gleichem Grade convergenten Reihe 



i= X 



cp (2" -X'tt) 



2™-" 



0, 1,2 ••• CX) 



>2 



so stellt ^ eine Function ■^/(.t) des reellen Argumentes x dar, welche 

 folgende Eigenschaften hat: 



1. die Function ^ = ^^(^) ist endlich, stetig und eindeutig für 

 alle Werthe von x zwischen und 1 ; 



2. die Function wächst beständig gleichzeitig mit ihrem Argu- 

 ment ; 



3. der Differenzen(|uotient ist beständig grösser als tt; 



4. für jeden rationalen Werth ~- von x, dessen Nenner eine 

 Potenz von "_' ist, ist 



ii 



Hi^ 



gleich CO, wie aus der Betrachtung des dem Werthe n = q 



entsprechenden Gliedes der Reihe für ^ hervorgeht. 



Hieraus ergibt sicli, dass auch umgekehrt die Grösse x als eine 



endliche, stetige und eindeutige Function der Grösse ^ betrachtet werden 



kann, weil zu grösseren Werthen von x stets grössere Werthe von ^ 



geliören und umgekehrt. 



Bezeichnet man diese Function mit 



^ = X(-)' 

 so besitzt dieselbe alle im Eingange angeführten Eigenschaften ohne 

 constant zu sein. 



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