6 Gedächtnifsrede auf Jacobi. 



unerwartete Erweiterung und die völlige Umgestaltung eines der wichtigsten 

 Zweige der Analysis zur Folge hatten. 



Indem der Fortschritt hier zu derselben Zeit von zwei verschiedenen 

 Seiten ausging, wird es erforderlich neben Jacobi's Untersuchungen die 

 gleichzeitigen Arbeiten A bel's zu erwähnen. Im Ursprünge voneinander 

 unabhängig, greifen die Entdeckungen beider später so in einander ein, dafs 

 die Darstellung der einen ohne Berücksichtigung der andern kaum verständ- 

 lich sein würde. 



Die Theorie der elliptischen Funtionen, mit welcher Abel's und Ja- 

 cobi's Namen auf immer verbunden sind, reicht in ihren Anfängen nicht 

 über die erste Hälfte des vorigen Jahrhunderts zurück. Ein italienischer 

 Mathematiker von ungewöhnlichem Scharfsinn, der Graf Fagnano aus dem 

 Kirchenstaate, machte die merkwürdige Entdeckung dafs das Integral wel- 

 ches den Bogen der Curve ausdrückt, welche damals die Mathematiker un- 

 ter dem Namen Lemniscate vielfach beschäftigte, ähnliche Eigenschaften be- 

 sitzt wie das einfachere Integral welches einen Kreisbogen darstellt, und 

 dafs z. B. zwischen den Grenzen zweier Integrale dieser Art, deren eines 

 dem doppelten Werthe des andern gleich ist, ein einfacher algebraischer 

 Zusammenhang Statt findet, so dafs ein Lemniscatenbogen, wenn gleich 

 eine Transcendente höherer Art, doch wie ein Kreisbogen durch geometri- 

 sche Construction verdoppelt oder gehälftet werden kann. Euler fand einige 

 Jahre später die eigentliche Quelle dieser und anderer ähnlicher Eigenschaf- 

 ten in einem Satze, der zu den schönsten Bereicherungen gehört, welche 

 die Wissenschaft diesem grofsen Forscher verdankt. Nach diesem Euler- 

 schen Satze hängt ein gewisses Integral, welches allgemeiner ist als das von 

 Fagnano betrachtete und in unserer jetzigen Terminologie elliptisches Integral 

 der ersten Gattung heifst, so von seiner Grenze ab, dafs zwei solche Inte- 

 grale mit beliebigen Grenzen immer in ein drittes vereinigt werden können, 

 dessen Grenze eine einfache algebraische Verbindung der Grenzen jener ist, 

 gerade so wie der Sinus eines zweilheilgen Bogens algebraisch aus den Si- 

 nus seiner Bestandtheile gebildet werden kann. Aber das elliptische Inte- 

 gral ist allgemeiner als dasjenige, welches einen Kreisbogen ausdrückt. Auf 

 die einfachste Form gebracht hängt es nicht wie dieses blofs von seiner 

 Grenze, sondern auch von einer andern in der Funktion enthaltenen Gröfse, 

 dem sogenannten Modul ab. Das Eulersche Theorem ergab nur Beziehun- 



