8 Gedächtnifsrcclc auf Jacobi 



behalten sich zuerst über diese und ähnliche Erscheinungen zu wundern, 

 was in der Mathematik wie in anderen Gebieten oft schon eine halbe Ent- 

 deckung ist. 



Obgleich die Umgestaltung der Theorie der elliptischen Funktionen, 

 welche man Abel und Jacobi verdankt, aus dem Zusammenwirken mehre- 

 rer sich gegenseitig unterstützender Gedanken hervorgegangen ist, so scheint 

 doch zweien dieser Gedanken die gröfste Wichtigkeit zugeschrieben werden 

 zu müssen, weil sie alle Theile der neuen Theorie innig durchdringen. Wäh- 

 rend die früheren Bearbeiter dieses Gegenstandes das elliptische Integral der 

 ersten Gattung als eine Funktion seiner Grenze ansahen, erkannten Abel 

 und Jacobi unabhängig von einander, wenn auch der erstere einige Monate 

 früher, die Nothwendigkeit, die Betrachtungsweise umzukehren und die 

 Grenze nebst zwei einfachen von ihr abhängigen Gröfsen, die so unzertrenn- 

 lich mit ihr verbunden sind wie der Sinus zum Cosinus gehört, als Funktio- 

 nen des Integrals zu behandeln, gerade wie man schon früher zur Erkennt- 

 nifs der wichtigsten Eigenschaften der vom Kreise abhängigen Transcenden- 

 ten gelangt war, indem man den Sinus und Cosinus als Funktionen des Bo- 

 gens und nicht diesen als eine Funktion von jenen betrachtete. 



Ein zweiter, Abel und Jacobi gemeinsamer Gedanke, der Gedanke 

 das Imaginäre in diese Theorie einzuführen, war von noch gröfserer Bedeu- 

 tung und Jacobi hat es später oft wiederholt, dafs die Einführung des Imagi- 

 nären allein alle Räthsel der früheren Theorie gelöst habe. Wäre es nicht 

 eine so alte Erfahrung, dafs das nahe Liegende sich fast immer zuletzt dar- 

 bietet, so würde man es auffallend finden müssen, dafs dieser Gedanke Eu- 

 ler entgangen ist, zu dessen frühsten und schönsten Leistungen es gehört, 

 die Theorie der Kreisfunktionen, indem er diese als imaginäre Exponen- 

 tialgröfsen behandelte, in solchem Grade vereinfacht und erweitert zu ha- 

 ben , dafs fast das ganze Gebiet der Analysis eine wesentliche Umgestal- 

 tung dadurch erfuhr. 



Indem Abel und Jacobi in die vorhin erwähnten, durch Umkehrung 

 aus dem elliptischen Integral der ersten Gattung gebildeten Funktionen, 

 welche nach unserer jetzigen Terminologie ausschliefslich elliptische Funk- 

 tionen genannt werden, das Imaginäre einführten, erkannten sie, dafs diese 

 Funktionen gleichzeitig an der Natur der Kreisfunktionen und an der der 

 Exponentialgröfsen Theil haben, und dafs, während jene nur für reelle, 



