Gedächtnifsrcde auf Jacohi. 9 



diese nur für imaginäre Werthe des Argumentes periodisch sind, die ellipti- 

 schen Funktionen beide Arten der Periodicität in sich vereinigen. 



Durch den Besitz dieser Grundgedanken auf einen neuen Boden ge- 

 stellt, richteten Abel und Jacobi ihre Untersuchungen auf zwei verschie- 

 dene Regionen der Theorie. Abel's Thätigkeit wandte sich den Problemen 

 zu, welche die Vervielfältigung und Theilung der elliptischen Integrale betref- 

 fen, und indem er mit Hülfe des Princips der doppelten Periode in die Na- 

 tur der Wurzeln der Gleichung von welcher die Theilung abhängt, tief ein- 

 drang, gelangte er zu der ganz unerwarteten Entdeckung, dafs die allge- 

 meine Theilung des elliptischen Integrals mit beliebiger Grenze immer alge- 

 braisch d.h. durch blofse Wurzelausziehungen bewerkstelligt werden kann, 

 sobald die besondere Theilung der sogenannten vollständigen Integrale als 

 schon ausgeführt vorausgesetzt wird. Die eben genannte besondere Thei- 

 lung scheint nur für specielle Module möglich, unter welchen derjenige der 

 einfachste ist, dem die Lemniscate entspricht. Indem er die Lösung des 

 Problems für diesen Fall durchführte, zeigte er dafs die Theilung der gan- 

 zen Lemniscate der Kreistheilung völlig analog ist und in denselben Fällen 

 durch geometrische Construction geleistet werden kann, in welchen nach der 

 schönen 25 Jahre früher von Gaufs gegebenen Theorie der Kreis eine sol- 

 che Theilung zuläfst. 



An diese letztere Arbeit Abels knüpft sich eine erwähnenswerthe his- 

 torische Merkwürdigkeit. In der Einleitung zum letzten Abschnitte der 

 „Disq. arith." welcher der Kreistheilung gewidmet ist, hatte Gaufs im Vor- 

 beigehen bemerkt dafs dasselbe Princip, worauf seine Kreistheilung beruht, 

 auch auf die Theilung der Lemniscate anwendbar sei, und in der That liegt 

 das Gaufsische Princip, nach welchem die Wurzeln der zu lösenden Glei- 

 chung so in einen Cyclus zu bringen sind, dafs jede von der vorhergehen- 

 den auf dieselbe Weise abhängt, der Abhandlung Abel's über die Theilung 

 der Lemniscate wesentlich zu Grunde; wenn aber für die Kreistheilung 

 längst bekannte Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen genügten, 

 um die Wurzeln dem Gaufsischen Principe gemäfs zu ordnen, so war fin- 

 den Fall der Lemniscate zu einer ähnlichen Anordnung, ja um nur die Mög- 

 lichkeit einer solchen zu erkennen, eine Einsicht in die Natur der Wurzeln 

 erforderlich, welche nur das Princip der doppelten Periodicität gewähren 

 konnte. Die vorhin erwähnte Aufserung ist also durch Abel's Abhandlung 



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