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Über eine Klasse von endlichen Grruppen 

 linearer Substitutionen. 



Von Dr. J. Schur 



•in Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius. 



In seiner Abhandlung «Memoire sur les equations difförentielles line- 

 aires k integrale algebrique« (Journal für Mathematik, Bd. 84, S. 89) 

 hat Hr. Jordan einen fundamentalen Satz aufgestellt, der sieh folgender- 

 maßen formulieren läßt: 



Jede endliche Gruppe ® homogener linearer Substitu- 

 tionen in nVariabeln enthält eine invariante AsELSche Unter- 

 gruppe 5 ■^*^" der Eigenschaft, daß der Quotient A der Ord- 

 nungen von ® und ^ kleiner ist als eine gewisse allein von 

 n abhängende Zahl. 



Während nun im allgemeinen allein für die Zahl A eine obere 

 Grenze' existiert, dagegen die Ordnung der Gruppe ® noch beliebig 

 großer Werte föhig ist, hört dies auf, der Fall zu sein, sobald nur 

 solche Gruppen ® in Betracht gezogen werden, bei denen die Spur" 

 jeder linearen Substitution einem vorgeschriebenen algebraischen Zahl- 

 körper K angehört. Es läßt sich sogar eine allein durch den Zahl- 

 körper K und die Anzahl n der Variabein bestimmte Zahl angeben, 

 die als das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller in Be- 

 tracht kommenden Gruppen ® erscheint. 



§1- 

 Es soll zunächst angenommen werden, daß der vorgeschriebene 

 Zahlkörper K mit dem Bereich O der rationalen Zahlen übereinstimme. 



' Der JoBDANsche Beweis liefert keine Methode, eine explizite obere Grenze 

 für die Zahl ?. zu be.stimmen. Eine solche obere Grenze hat erst in neuerer Zeit 

 Hr. Blichfeldt (Transactions of the Am. Math. Society, Bd. 4 (1903), S. 387 und 

 Bd. 5 (1904), S. 310) für eine allgemeine Klasse von Gruppen angegeben, die er als 

 primitive Gruppen bezeichnet. 



2 Unter der Spur der linearen Substitution j« = 2a«xJ:^ versteht man belianiit- 

 lich die Zahl ia.«. '' 



