78 Gesammtsitzung vom 12. Januar 1905. 



Es gilt dann der Satz: 



I. Ist ® eine endliche Gruppe homogener linearer Substitutionen in 

 n Variahein und ist die Spur Jeder Substitution von ® eine (ganze) ratio- 

 nale Zahl, so ist die Ordnung g der Gruppe ® ein Divisor der Zahl 



M„ = npL?-iJ"^L'(p-iiJ"'"Lp^(/>-i)J^' 



(/. = 2,3,5,..-). 



Hierbei bedeutet [ö] die größte ganze Zahl <ö, ferner .soll p die 

 Reihe der Primzahlen soweit durchlaufen, bis das Produkt von seihst 

 abbricht, d. h. bis zur größten Primzahl, welche <n + l ist. 



Der BeAveis ergibt sich sehr einfach mit Hilfe der A'on Hrn. 

 Fkobeniüs begründeten Theorie der Gruppencharaktere. 



Es sei nämlicli p eine Primzahl, p'" die liöchste Potenz von p, 

 die in g aufgeht, und ^ eine Untergruppe der Ordnung p'" von ®. 

 Ist dann P eine Substitution der Gruppe ^ , so genügen die charakte- 

 ristischen Wurzeln : 



(l) Cüi, tu.,, • • • , (jO„ 



von P der Gleicliuug xP'" = 1. Bedeutet nun p eine primitive p'"^" 

 Einheitswurzel, und kommt die Einheitswurzel p" unter den Größen (i) 

 genau .x"„ Mal vor, so ist die Spur %(P) von P gleich 



Nun soll aber y^(P) rational sein. Hierfür ist bekanntlich not- 

 wendig und hinreichend, daß, falls p"' ' = q gesetzt wird, 



^\ = Xk+,j = ^>.+i^ = • ■ • = Xx+^p-i^ (X = 1 , 2 , ••• }-l) 



sei. Da nun 



p7 + p27+ ... +p(P-l)7 = -1 

 pX + pX + 7 ^ p>. + 2, ^ ... ^p). + (p-l), ^0 (X= 1, 2, ■•■ 5-1) 



ist, so erliält man 



n = Xo + {p - 1 )x.j +pxi + ■■■ +px,j^i 

 und 



X{P) =Xo-x.j. 



Hieraus folgt aber, wenn y = x^ + a:, + • • • + x^_i gesetzt wird, 



X{P) =n-py. 

 Ferner ist 



>l-{p-\]lj = ^0 + ^1 + • • ■ + i^v-I , 



also ?/< — — . Bedeutet daher v die ganze Zahl , so kommen 



•^' p-\ ^ » [p-lj 



für %{P) nur die Werte 



