.1.. Schur: (lier eine Kliisse von endlichen Ginppen. / i) 



1/ , I) —p , u —2p. ■ • • , n — vp 

 in Betracht. 



Es mögen nun unter den Spuren der j^'" Substitutionen von ^ 

 genau /„ den Wert n — a.'p besitzen; hierbei ist 4=1 zu setzen, da 

 in einer endlichen Gruppe nur die Spur der identischen Substitution 

 E gleich n ist. Es ist dann 



Nun bilden aber die p'" Zahlen [yj(P)]'' für jedes positive ganz- 

 zahlige A einen (zusannnengesetzten) Charakter der Gruppe %} Daher 

 ist die Summe der j)'" Zahlen |%(P)]\ il. h. die Zahl 



/„ n^ + /, (w -py- H vi An- vpf 



eine durch p'" teilbare ganze Zahl.^ Wir erhalten mithin die Kongruenzen 



k + A H +l, = Q 



l„ii + l,{n -p) -\ + 1,(11 -vp) = 



(mod. p'") 



/„"" + '',(" -/')" H 1- l..-(n-vpY = 0. 



Hieraus folgt aber in bekannter Weise, daß 



/Jl\„-ap-{i>-ßp)\ (ß = 0,l,.-.>., p=#«) 



durch jf teilbar ist. Für ci = ergibt sich, daß p'" ein Divisor der 

 Zahl|/v! sein muß. Da aber 



die höchste Potenz von p ist, die in v\ aufgeht, so muß jf ein Divisor 

 der Zahl 



sein. 



Hieraus folgt aber unmittelbar, wie zu beweisen war, daß die 

 Ordnung g der Gruppe @ ein Divisor der Zahl iTf,, ist. 



In dem Satz I ist folgender von Hrn. Minkowski in seiner Arbeit 

 »Zur Theorie der positiA^en quadratischen Formen« (Journal für Mathe- 

 matik, Bd. lOi, S. 196) bewiesener Satz als spezieller Fall enthalten: 



»Die Anzahl der ganzzahligen Transformationen einer positiven 

 quadratischen Form mit n Variabein (und von nicht verschwindender 

 Determinante) in sich selbst ist ein Divisor der Zahlilif„. «^ 



Umgekehrt folgt, wie noch liervorgehoben werden soll, aus dem 

 MiNKOwsKischen Resultat der Satz I für den speziellen Fall, daß die 

 Koeffizienten aller Substitutionen 



' Froeenius, Sitzungsberichte 1899, S. 330. 

 ^ Frobenius, Sitzungsberichte 1896. S. 717. 

 ^ Hr. Minkowski bezeichnet die Zahl JI„ mit n\. 



