80 Gesainmtsitzung vom 12. Januar 1905. 



der Gruppe ® ganze Zahlen sind. Denn alsdann läßt jede dieser Sub- 

 stitutionen die positive quadratische Form von nicht verschwindender 

 Determinante 



/ = 2S(«i"'ir, + a*."'^;, + • ■ • + a^^lx„y 



ungeändert.' Daher ist ® eine Untergruppe der Gruppe ®' aller ganz- 

 zahligen Transformationen der Form/ in sich selbst, und da die Ord- 

 nung von %' in M,-^ aufgeht, so ist dies auch für die Ordnung von ® 

 der Fall. 



Wie Hr. Minkowski a. a. 0. gezeigt hat, lassen sich für jedes n 

 positive quadratische Formen mit n Variabein angeben, für welche die 

 Anzahl der ganzzahligen Transformationen in sich selbst genau durch 

 dieselbe Potenz der Primzahl p teilbar ist, wie die Zahl M^. 



Hieraus folgt unmittelbar, daß die Zahl Jf„ das kleinste gemein- 

 same Vielfache der Ordnungen aller endlichen GrujDpen linearer Sub- 

 stitutionen in n Variabein mit rationalen Spuren repräsentiert. 



Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem Resultate des Hrn. 

 Minkowski, so könnte die Vermutung entstehen, daß sich jede end- 

 liche Gruppe linearer Substitutionen mit rationalen Spuren durch 

 eine Transformation der Variabein, wodurch ja die Spur jeder Sub- 

 stitution ungeändert bleibt, in eine (ihr ähnliche) Gruppe linearer 

 Substitutionen mit rationalen Koeffizienten überführen läßt. Dies ist 

 jedoch keineswegs der Fall, wie man an dem Beispiel der durch die 

 Substitutionen 



[A) a;, = ix[ , ^2 = — ix'., 



{B) a;, = X; , a;, ^ — x\ 



erzeugten Gruppe der Ordnung 8, der sogenannten Quaternionengruppe, 

 erkennt. 



Diese Gruppe besitzt zwar rationale Spuren , läßt sich aber durch 

 eine Transformation der Variabein nicht einmal in eine Gruppe reeller 

 Substitutionen überführen. In der Tat seien 



(^i) «, = aLx[ + ß^Tj , x„ = yx\ + ^x\ 



(Bi) a;, =: Xx'^ + jj-x', , x„ = vx[ + px\ 



zwei reelle Substitutionen, die durch eine passend gewählte Trans- 

 formation der Variabein in A und B übergehen mögen. Es müßten 

 dann die Spuren und die Detei-minanten von Ai,By, A^^B^ mit der- 

 jenigen von A,B,AB übereinstimmen. Daraus folgt 



' Vgl. A. LoEWY, Coniptes Rendus, 1896, S. 168 und E.H.Moore, Math. Ann. 

 Bd. 50, S. 213. 



