J. Schur: Über eine Klasse von endliehen Gruppen. 81 



a + (5- = , ad - ßy = 1 



X + p = , Xp — fxv ^ 1 



aX + Sv + ytJ- + Sp = 0. 



Eine leichte Keebnung ergibt 



(a,u-ß>.)' + ß- + fj.- = 0. 

 Daher müßte ß = sein, was wegen 

 ad — ßy := — a' — ßy ^ 1 

 für ein reelles a nicht möglich ist. 



§ 2. 



Es sei nun Ä'= ü{-/.) ein beliebig gegebener, durcli die algebraische 

 Zalil y, bestimmter Zahlkörper des Grades k. 



Ist dann ® eine endliche Gruppe linearer Substitutionen in /i Vari- 

 abein, deren Spuren sämtlich dem Körper K angehören, so will ich 

 im folgenden kurz sagen, ® sei eine Gruppe ®i"*. 



Es ist zunächst leicht zu sehen, daß die Ordnung (/ einer solchen 

 Gruppe ® eine gewisse, allein durch K und n bestimmte Zahl nicht 

 übersteigen kann. Ist nämlich ^(i?) die Spur der Substitution R von 

 ® und sind 



diejenigen Zalilen, die aus ^(R) dadurch hervorgehen, daß man darin 

 die Größe y. durch die k konjugierten algebraischen Größen ersetzt, 

 so bilden für jedes A die g Zahlen Ö'\R) einen Charakter der Gruppe 

 ®, daher auch die Zahlen 



1(7?) = ^Ä) + ?(')(/?) + • • ■ + !;(*-')(/?). 



Es läßt sich folglich eine der Gruppe @ isomorphe Gruppe linearer 

 Substitutionen in Avi Variabein angeben, worin die Spur der der Sub- 

 stitution R von ® entsprechenden Substitution den Wert ^{R) hat. 

 Da diese Zahlen aber rational sind, so muß die Ordnung g der Gruppe 

 nach Satz I ein Divisor der Zahl -M},.,j sein. 



Die sich so ergebende obere Grenze für die Ordnungen der 

 Gruppen ©i"' ist aber im allgemeinen erheblich gröl3er als das kleinste 

 gemeinsame Vielfache dieser Ordnungen, zu dessen Bestimmung erst 

 die folgende Betrachtung führt. 



Man bezeichne, wenn p eine primitive A'" Einheitswurzel ist, den 

 Körper 9.(p) mit VS'K Ferner sei. wenn p eine gegebene Primzahl ist, 

 /t*"' der größte gemeinsame Divisor der beiden Körper K und P^-, 

 A-*"' der Grad von Ä'*"*. Es ist dann offenbar 



/,.{!) < ^-(2) < Jf.(,3) < . . . . 



Sitzmigsbericlite 1905. 6 



