82 Gesanimtsitzung vom 12. Januar 1905. 



Da nun die Zahlen A;''* , A;'^* , • • • sämtlich in dem Grad k von K auf- 

 gehen, so muß unter ihnen eine größte vorhanden sein; es sei dies 

 die Zahl h^"'''\ Dann ist also 



^(,«, + «)^^K) („ = 0,1,2,...) 



und, falls m>\ ist, 



tK-i)<^>v) 



Da ferner der Körper Ä'*'"" offenbar jeden der Körper .ST'"^ enthält, so 

 ist .äT'"' nichts anderes als der größte gemeinsame Divisor der beiden 

 Körper K^'"^'^ und ii^'^"'. 



Es sei nun zunächst p>2. Dann ist jeder der Körper il'^"^ ein 

 zyklischer Körper des Grades j;""' {p — \), und es entspricht jedem 

 Teiler d dieser Zahl ein und nur ein Divisor des Grades d von v}^''\ 

 der ebenfalls ein zyklischer Körper ist. Es ist rmn leicht zu sehen, 

 daß die Zahlen ä;*'' , 16^^ , ■■■ Jc^"'''^ die Form haben müssen 



tp *p tp 



wo tp einen Divisor von p-l bedeutet.' Denn es ist dies jedenfalls 

 richtig für ot^ = 1. Ist ferner ?/?^,>l, so sei der Divisor k^'"''' von 

 p"'p~'^(p-l) ^ ^-AJi — l ^ ^TQ (^ in 2)—l aufgeht. Wäre nun i'<?//^— 1, 



so würde der in o'^ '"' enthaltene Körper o'^'"^' ' einen Divisor des 

 Grades k^"'''' besitzen, der mit dem Körper Ä"'"*''^ übereinstimmen müßte, 



und es könnte nicht 7/"''-i)<^("^) sein. Daher ist k^'"^^ = ^"'' /^'~'* . 



tp 



Ist nun fj-OBj,, so sind lO'"''' und 1^*^"^ zwei Divisoren des zyklischen 



Körpers vS^ '"' , der Grad Ä*"* ihres größten gemeinsamen Divisors muß 



p"'p-^{p-U 



daher gleich sein dem größten gemeinsamen Teiler ihrer Grade ~- 



b 



und p-Hi^-l). Daher ist in der Tat ^<''' = ^^lii^zil. 



'p 

 Es sei nun p^=2. Der Körper il*^"^ besitzt dann für fx>'2 nur 



drei Divisoren, die nicht in i2*'"" ' enthalten sind, nämlich, wenn er 

 eine primitive 2"''^ Einheitswurzel ist, die Körj^er 



(3) «(-"> = ff (er), «P = 9{iT + a-') , «P = «(^-0-') 



der Grade 2"-', 2""'' und 2"'-. 



' Ist Ä'*"' für jedes m gleich V., so hat man also wip ;= 1 , tp ^= p—\ zu setzen. 



