J. Schur: Über eine Klasse von endliclien Gruppen. 88 



Ist nun zunächst m., — 1 oder m^ = 2, so ist jedenfalls K'-"'^'> gleich 

 ü'"* = o oder gleich P.'^'>. Ist dagegen m2>2, so muß K^"''\ da dieser 

 Körper in PJ^"'''> , aber nicht in r>''"''~'' enthalten ist, mit einem der drei 

 Körper (3) übereinstimmen. 



Man setze nun /. = 1 , foUs K^""^ = PJ'""^' ist, was für nu = 1 

 und m., — 2 jedenfalls eintritt, dagegen 4 = 2, falls K'-'"^'* mit einem 

 der beiden Körper J2f '-' oder l^i"""'' zusammenfallt. Es wird dann 



9 92 9"ij-l 



(4) Ä-") = 1 , A-(^) = - , /t'=) = -,..., Är""2> = = . 



^^ i., k t. 



Denn ist erstens ^2= 1, so ist für|W<??«2 der Körper Ä'*"' der größte 

 gemeinsame Divisor der beiden Körper 11"'"' und K^""-^ — il'^'"-' , also gleich 



12'-"'. und folglich i.st Ä"'"' = 2"-' = ^^^. Ist ferner t, = 2 , so ist 



'2 



/.("'s) _ 2"'ä-2 __ „^ — . ferner ist für w < m^ der Körper ir'"\ als der größte 



gemeinsame Divisor von VS"-"^ und 12^'"'*, bzw. ^^f''\ falls |U = 1 oder 

 = 2 ist, gleich r2, falls u>2 ist, gleich dem Körper I2p. Daher 

 ist in der Tat 



ArC) = 1 , Ä;(») = 2"-^ = — . (k > 1) 



Es gilt nun der Satz: 



II. Es sei K = P. {•/.) ein algebraischer Zahlkörper^ für den die Zahlen 

 nip und tp in der geschilderten Weise bestimmt seien. Dann ist das kleinste 

 gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller endlichen Gruppen homogener 

 linearer Substitutionen in nVariabeln, deren Spuren sämtlich dem Körper K 

 angehören^ gleich der Zahl 



3/W = f~\i\ np'^^fi] + fe] + [^] + ■••. (p = 2,,S,5,...) 

 r 



Hierbei ist das Produkt über alle Primzahlen p zu erstrecken, für 

 welche tj,^n ist, was offenbar nur für endlich viele Primzahlen der 

 Fall ist. 



§ 3- 

 Um den Beweis des Satzes II vorzubereiten, schicke ich folgende 

 Betrachtung voraus. 



Eine Gruppe ® wird bekanntltcli zerlegbar oder reduzibel genannt, 

 wenn sie durch eine passend gewählte Transformation der Variabein 

 in eine ihr ähnliche Gruppe ®' übergeführt Averden kann, in der das 

 Koeffizientensystem jeder Substitution die Form hat 



6* 



