84 Gesammtsitziing vom 12. Januar 1905. 



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wobei die Zahlen r und s für alle Substitutionen von ®' dieselben Werte 

 haben. Der Kürze halber will ich hier eine Gruppe ® = ©Sj"^ im 

 Körper K zerlegbar nennen, wenn in jeder Sub.stitution von ®' 

 die Teilspuren 2 o„„ und 2 \y einzeln dem Körper K angehören. Sind 

 dann unter den Substitutionen (o!„^) im ganzen g' , unter den Sub- 

 stitutionen (6^x) ™ ganzen g" voneinander verschieden, so bilden die 

 ersteren eine Gruppe ©i."* der Ordnung g' , die letzteren eine Gruppe ®'"* 

 der Ordnung g"; ferner sind diese Gruppen der Gruppe ® ein- oder 

 mehrstufig isomorph, und es ist die Ordnung der Gruppe ® höchstens 

 gleich g'g"- 



Es sei nun ® eine Gruppe ®5,"* von der Ordnung g, die im Körper 

 K nicht zerlegbar ist. Die g Spuren ^{R) der Substitutionen E von 

 ® bilden dann einen im allgemeinen zusammengesetzten Charakter 

 der Gruppe ®. Es seien nun 



y('»{R), x'^)(R), x<^)(ß),--- 



die einfachen Charaktere von ®. Ist dann p eine primitive g^ Ein- 

 heitswurzel, so gehören die Zahlen y}^\R) dem Körper Q.{p) an; ferner 

 genügt p im Körper K einer irreduciblen Gleichung F{x) = o, deren 



Grad genau gleich ^-^ ist, falls d der Grad des größten gemeinsamen 



Divisors von K und ^{p) ist. Ersetzt man nun für ein gegebenes X 

 in den g Zahlen y}^\R) die Größe p durch die "Wurzeln der Gleichung 



F{x) = o, so entstehen höchstens — jJ verschiedene Systeme von je 



g Zahlen 



(5) x<^H«), xl'>(ß), xr'(Ä),---. 



Die g Zahlen yJj^\R) bilden dann für jedes u wieder einen einfachen 

 Charakter der Gruppe ®. Die Charaktere (5) mögen als die zu %*^*(i?) 

 relativ konjugierten Charaktere bezeichnet werden. 



Enthält nun der Charakter ^{R) den einfachen Charakter yS'H.^) 

 genau ^r^^mal, so ist 



■;{R) = 2~~.xW(i?) 



und (vgl. Frobenius, Sitzungsberichte 1896, S. 717) 



(6) gz, = 2?(Ä-')x'^H«), 



