J. Schur: Über eine Klasse von endlichen Gruppen. 85 



WO R alle Substitutionen von % durchläuft. Da nun die Zahlen ^(Ä"') 

 dem Körper K angehören sollen , so folgt aus (6) , daß jeder der zu 

 y}'^\R) relativ konjugierten Charaktere in ^{R) genau r^mal enthalten 

 ist. Es möge nun für den Charakter %'^'(-R) = %(-ß) die Zahl ;r^>o 

 sein. Sind dann 



x(ß),xi{/«'), ■••,x.-.(-R) 



die sämtlichen verschiedenen zu yJ^R) relativ konjugierten Charaktere, 

 und setzt man 



■an) = x(«) + Xi(Ä) + • • • + X.-i(K) + UR) . 

 so gehören sowohl die Zahlen 



s(i?) = x(fi) + x.(ß)+---+x.-.(fi) 



als auch die Zahlen ^i{R) dem Körper K an. Wären nun die Zahlen 

 ^i{R) nicht sämtlich gleich Null, so würden sie einen Charakter der 

 Gruppe ® bilden. Da auch die Größen ^{R) einen solchen repräsen- 

 tieren, so würde ® einer anderen Gruppe ähnlich sein, die in zwei 

 Gruppen linearer Substitutionen zerfällt, deren Spuren die Zahlen 

 ^{R) und ^i{R) sind, d. h. ® würde entgegen der gemachten An- 

 nahme im Körper K zerlegbar sein. 



Wir sehen also, daß der einer im Körper K nicht zerlegbaren 

 Gruppe entsprechende Charakter ^{R) die Form haben muß 



?(2?) = X(ß) + Xi(ß)+---+Xr-i(^), 



wo %{R) , VjiiR) , • ■ • %,-i(-ß) die sämtlichen zu einem einfechen Charakter 

 relativ konjugierten Charaktere repräsentieren. Ist dann r^i, so ist 

 ® eine irreduzible, d. h. im Bereich aller Zahlen nicht zei-legbare 

 Gruppe. Ist dagegen r > i , so ist ® einer Gruppe ®' ähnlich . deren 

 Substitutionen Koeftizientensysteme der Form 



,A ••• N 

 .4i • • • 1 



■■■ A,.i/ 



besitzen, wo Ä,A^, ■■■ A,_i Matrizen des Grades — sind. Die g Ma- 

 trizen A„ sind dann für jedes a voneinander verschieden und bilden 

 eine der Gruppe ® einstufig isomorphe irreduzible Gruppe. 



§4- 

 Wir beweisen nun folgenden Hilfssatz: 



III. Ist 51 eine AnELSche Gruppe linearer Substitutionen in n Va- 

 riahelnj, deren Ordnung a eine Potenz der Primzahl p ist. und ist die Spur 



