86 Gesammtsitzung vom 12. Januar 1905. 



jeder Substitution von 51 eine Größe des Körpers K, so ist a für p>2 

 höcJtstens gleich 



für p = 2 höchstens gleich 



Dieser Satz ist für n = 1 leicht zu bestätigen. Denn es sind dann 

 die Spuren aller Substitutionen der Gru})pe ote Einheitswurzeln, die als 

 dem Körper /i'angehörende Größen im Körper Ä'("';') enthalten sein müssen. 

 Ist nun zunächst p — 2 , t^ = 2, so enthält Ä'*'"-' nur die Einheitswurzeln 

 + 1 und - 1 und daher ist a höchstens gleich 2 = 2*""-~°'t^l"'''. Ist ferner 

 p>2 und tj,^\, so enthält K^'"j>) alle Einheitswurzeln des Grades p"'p, 

 aber keine primitive ^'"/'+Ue Einheitswurzel, folglich ist ölp'"/'. Diese 

 Zahl wird aber unter der gemachten Voraussetzung in der Tat gleich 

 Kj,p. Ist endlich p>2 und Z^, >1, so enthält K('"p) nur die ote Ein- 

 heitswurzel + 1 und es wird a = \ = p"'''\tp\. 



Ich nehme nun an, der Satz III sei bereits für AbelscIib Gruppen 

 mit weniger als n Variabein bewiesen. 



Ist dann 31 eine im Körper K zerlegbare Gruppe, so lassen sich 

 zwei der Gruppe 51 ein- oder mehrstufig isomorphe Gruppen 51' und 21" 

 linearer Substitutionen in r<n und .« = « -?•<;* Variabein angeben, 

 deren Spuren dem Körper K angehören, so daß a höchstens gleich 

 wird dem Produkte der Ordnungen d und d' dieser Gruppen. Es ist 

 aber nach Voraussetzung 



also 



die Zahl N^j,N, ,, ist aber, wie man sofort sieht, höchstens gleich 



Es sei daher 51 eine im Körjier Ä' nicht zerlegbare Gruppe. Dann 

 ist nach dem Ergebnis des § 3 , da eine kommutative Gruppe linearer 

 Substitutionen bekanntlicli nur dann irreduzibel ist, wenn die Anzahl 

 der Variabein gleich 1 ist. 51 einer Gruppe ähnlich, in der die Koeffi- 

 zientenmatrix der Substitution R die Form hat 



vi'(ff) •■■0 

 ü',(/?)---0 



a„-,(^) 



wo die a Zalilen \L (R) einen (einfaclicn) Charakter der AßELsclien 

 Gruppe 51 bilden, und ■lAR),----Jy,,_^{R) die übrigen diesem Clia- 



