.1. Schi'r: t"l)er eine Klasse von endlichen Gruppen. 87 



rakter relativ konjugierten Charaktere bedeuten. Da nun aber die 

 a Einlieitswurzeln ■4^{R) eine der Gruppe 31 einstufig isomorphe Gruppe 

 bilden, so muß 51 eine zyklische Gruppe sein, und ist a = p"", so 

 kommen unter den ■^'(i?) auch primitive p"'" Einheitswurzeln vor. Da- 

 her wii-d 



P--(P-I) 



falls Ar'"* wie früher den Grad des größten gemeinsamen Divisors von 

 K und PJP") bedeutet. 



Ist nun p ^ 2 und fj. = l. so wird n =: -T.y = 1. ein Fall, den 



wir schon erledigt haben. 



Ist ferner ß < m^ und für p = 2 nocli ij. > 1, so wird (vgl. die 

 Formeln (2) und (4)) n = /,, und N,,.,, '" allen Fällen gleich p"'p, also 

 in der Tat a =^ p'^ < N,^ _ ^ . 



Ist endlich ix>mp, so wird 



_p'-'(p-l) 



¥"'?) 



■ f "■-"'?. t, 



undiV„_^ für p^2 ^€\c\\ p"'p • V" '">> . Da aber offenbar stets fj.<mpp"' "Vist, 

 so wird auch hier a = p'^<N„p. 



§5- 



Wir kommen nun zum Beweise des Satzes II. 



Der Beweis stützt sich auf einen von Hrn. Blichfeldt' bewiesenen 

 Satz, der folgendermaßen lautet: 



»Ist ® eine endliche Gruppe linearer Substitutionen in 

 m Variabein, deren Ordnung g eine Primzahlpotenz ist, so 

 läßt sich ® durch eine Transformation der Variabein in 

 eine Gruppe ®' überführen, deren Substitutionen die Form 

 haben 



a-^ ^ a^X)^, (z = 1 . 2 . • • • . ri) 



wo ^1,^2, •■• a^ gewisse Konstanten sind und A, , A, , • • • A„ ab- 

 gesehen von der Reihenfolge mit den Zahlen \ , 2 , ■■■ , n 

 übereinstimmen.« 



Betrachtet man in ®' alle Substitutionen der Form 



so bilden diese eine invariante AßELsche Untergru2:)pe %', deren Ord- 

 nung gleich / sei. Ferner bilden die verschiedenen den Substitutionen 

 von ®' entsprechenden Permutationen 



-r„ ^ x, 



' Transactions of the American Matlieniatical .Society, Bd. 5 (1904), S. 313. 



