J.Schur: Über eine Klasse von endlichen Gruppen. 89 



E.s sei also ® eine im Körper K nicht zerlegbare Gruppe. Ist 

 dann (^(Ä) die Spur der Substitution R von ®, so sei 



C(«) = x(Ä) + x,(Ä)+--+x.-.(R), 



wo %{R), %i(-R), •■• %,-i{R) gewisser relativ konjugierte einfache Charak- 

 tere von ® sind. Die Grupi^e ® ist dann einstufig isomorph einer 



irreduziblen Gruppe .Q linearer Substitutionen in %iE) = - Varialieln. 



deren Spuren die Werte x{R) haben. Es läßt sich nun in §, und 

 also auch in ®, eine AßELSche Untergruppe der Ordnung/ angeben, 



so daß g =1 fd wird, wo d ein Divisor von | j! ist. Da nun 



ferner wegen III die Zahl / höchstens gleich j?'"'' lüpj ist, so erhält man 



Es ist aber leicht zu sehen, daß die Zahl r mindestens gleich /, 

 sein muß. Denn ist P ein invariantes Element der Ordnung p von (r, 

 so ist, weil %{R) ein einfaclier Charakter der Gruppe (^ ist. 



wo p eine primitive p*" Einheitswurzel ist. Ferner sind unter den 

 Zahlen 



die sämtlichen der Zahl p • relativ konjugierten Größen enthalten. 



Da nun aber der größte gemeinsame Divisor der beiden Körper K 



und O''"' =: i2{p) gleich — . — ist, so genügt p-- im Körper K einer irre- 

 tp ' r 



duziblen Gleichung des Grades t^,. Daher ist in der Tat r'>,tj, und 



fülglicli ist, wie zu beweisen ist, 



^i" [iJ + [^] + [?^l + • • • £/" [iJ + [i] + [^] + 



9^ 



§6. 



Es bleibt uns noch übrig, zu zeigen, daß die Zahl TW,*"', von der 

 wir nachgewiesen haben, daß sie durch die Ordnung jeder Gruppe 

 ®i"' teilbar ist, auch wirklich das kleinste gemeinsame Vielfache der 

 Ordnungen aller dieser Gruppen repräsentiert. 



Sitzungsberichte 1905. 7 



