90 Gesammtsitzung vom 12. Januar 1905. 



Um diesen Nachweis zu führen, hat man für jede Primzahl jo 



eine Gruppe ©1"* anzugeben, deren Ordnung durch dieselbe Potenz 

 Mn,p von p teilbar ist wie die Zahl if^"'. 



Es sei zunächst p>2 oder ^ = 2 und ^^ = 1. Man setze dann 



[ä 



n := t„v + r . 



Ist nun p eine primitive jo'"?'" Einheit.swurzel, so betrachte man 

 die Gesamtheit der Substitutionen der Form 



(7.) Xi = p"'x;.j, Xi = p°-i»;L, ■■■ a;„ = p"''^^, 



wo d-i, a,^, ■■■ a,„ unabhängig voneinander die Zahlen 0,1, ... ^"¥-1, 

 ferner A, , Aj , • . ■ A„ alle v ! Permutationen der Zifi'ern \ , 2 , ■■■ v durch- 

 laufen. Die Substitutionen (7.) bilden dann eine Gruppe § der Ord- 

 nung j9"'i"'l'! 



Sind ferner p. p', ••• p^'p"') die zu p (in bezug auf Ä') relativ kon- 

 jugierten Zahlen, und ersetzt man in der Koeffizientenmatrix A einer 

 beliebigen Substitution von *ö die Einheitswurzel p durch p' , ■■■ pCi-"'), 

 so mögen die Matrizen ^1, ••■ Atp-i entstehen. Ist dann E^ die Matrix 



r*'° Grades 



(1 • • • ^ 

 1 •••0 

 ■■• 1, 



so bilden die linearen Substitutionen in n Variabein mit den Koeffi- 

 zientensystemen 



" ■ • ■ \ 



^ ■■• \ 



.4i ■ • • 



. •■• ^i 



,-./ 



eine Gruppe der Ordnung p"^"!/ ! , in der die Spur jeder Substitution 

 dem Körper Ä" angehört. Die Zahl^^p"!/! ist aber genau durch die 

 Potenz M„^p von p teilbar. 



Etwas weniger einfach ist die Behandlung des Falles p ^ 2 , t^ ^2. 



Es sei dann 



["] 



V . n := 2v + r (r ^ oder 1). 



Ist ferner er eine primitive 2""''" Einheitswurzel, so setze man 

 T = ö""' oder — cr~', je nachdem der größte gemeinsame Divisor von 

 K und ü{(t) gleich ß(o- + cr"') oder gleich i2((7-ö-~') ist. Betrachtet 

 man dann für /• = alle Substitutionen der Form 



^11 = o""'^i|3^ , X12 = T"'xl^y , ■ ■ ■ , x^^ := cr''''xl^ß^, x,.„ = r"'xi^y^, 



