KoKNiGsiu-.RGER : Die iiartiellen nifrerentialgleicljuiigen cL allgein. Mecliaiiik. 25B 



so werden in dem Ausdrucke 



H =z H,-hu),(t,, t,,p)p^'^-hüü^(t,, t,,p)p^'^-^üo{t,, t,,p) 



die Functionen u)^,w^,u} der Bedingung zu unterwerfen sein, dass 

 durch Einsetzen des aus (i6) entnommenen Werthes 



in (15) der Gleichung (7) Genüge geleistet wird ; man sieht unmittelbar, 

 dass die l)ezeichnete Substitution auf die Gleichung 



8ü), du), du) 



führt, und wird somit den gestellten Bedingungen am einfaclisten ge- 

 nügen können , wenn man 



o), = o , u)^= o , u) = — \ ü,{t,, t^, p)dp 



setzt. Wir finden somit, 



dass die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen 

 dafür, dass eine partielle Differentialgleichung 



N = F{t, , t, ,p,p^'\ p^'\ p^"\ p^''\ y=^') = o 



eine aus dem erweiterten H AMiLXON'schen Princip entsprin- 

 gende LAGRANGE'sche partielle Differentialgleichung ist, 

 oder dass für den Ausdruck N ein kinetisches Potential 

 existirt, erfordern, dass diese Differentialgleichung eine 

 in den zweiten partiellen Differentialquotienten lineare 

 von der Form ist: 



N=f,{t,, t,,p,p^'\p^'^)p^"^-i-2f,(t,, t,,p,p^'\p^'^)p^''^ 



+f^{t, , 4 , p,p^'\ p''^)p^''^+f{t., k , P,P^'\ p'^') , 



in welcher die Functionen /, ,/2,/3,/den Bedingungen unter- 

 liegen: 



df^_df^ s/. _ 9/3 



9^(3) - gyr) . 9^,3) - 9^0 



9;><" ~ a<. 3p^ 84 ^ dpP ' 8p(^' 3^ dpP 34 3^^ ' 



und zwar ist dann das zugehörige kinetische Potential H, 

 für welches die vorgelegte partielle Differentialgleichung 

 in die LAGRANGE'sche Gleichung 



_dH d dH d dH _ 



~l)p H^dpF' 'd[^dp^~ 



