Koenigsherger: Die ]),Trtiell(;ii niflV'roiitialgleichungen <1. .•illj;oiii. Mecliaiiik. 275 



Zur Ergänzung der hier und in meinen frülieren Arbeiten über 

 die Principien der Mechanik durchgeführten Untersuchungen mag noch 

 eine allgemeine Bemerkung hinzugefügt werden, die auf dem Satze 

 beruht*, dass die nothwendige und hinreichende Bedingung (hifür, dass 

 eine Function H von p unabh.ängigen Variabein t,, t,, . . . t^, fj. abhän- 

 gigen Variabein Pi, Ih ■ • • P„ und deren partiellen Ableitungen bis zur 

 v''" Ordnung hin sich als die Summe von p bez. nach t,, L, . . . t^ ge- 

 nommenen totalen Differentialquotienten von Functionen derselben un- 

 abhängigen und abhängigen Variabein und deren partiellen Differential- 

 quotienten ebenüills bis zur /"" Ordnung hin darstellen lassen soll, die 

 ist, dass die Function den Hauptgleichungen 2 v'" Ordnung der gleich 

 Null gesetzten Variation des p- fachen Integrales der Function //iden- 

 tiscli Genüge leistet. 



Die Existenz des F^nergieprincips in der Mechanik einer oder 

 mehrerer unabhängiger Variabein setzt bekanntlich voraus, dass das 

 kinetische Potential H eben diese nicht explicite enthält; es ist aber 

 nicht unwesentlich, die Frage zu beantworten, wie alle kinetischen 

 Potentiale beschaffen sein müssen, wenn nur die Hauptgleichungen 

 selbst von den unabhängigen Variabein frei sein sollen. Dass dies der 

 Fall ist, wenn das kinetische Potential selbst diese Variabein nicht 

 enthält, ist selbstverständlich, auch leuchtet es nach dem eben an- 

 geführten Satze unmittelbar ein, dass, wenn ein von den unabhängigen 

 Variabein nicht freier Ausdruck des Potentials die von eben diesen 

 Veränderlichen unabhängigen Hauptgleichungen liefert, alle die unend- 

 lich vielen Formen des kinetischen Potentials, welche sich von der ursprüng- 

 lichen nur um totale Differentialquotienten der bezeichneten Functionen 

 nach den einzelnen Variabein genommen unterscheiden, wiederum die- 

 selben, A'on den unabhängig Veränderlichen freien Hauptgleichungen lie- 

 fern werden; es ist somit nur die Frage nach der Form aller kinetischen 

 Potentiale zu beantworten, Avenn die Hauptgleichungen oder die erwei- 

 terten LAGRANGE'schen partiellen Differentialgleichungen 2/" Ordnung 

 d dH _ d dH _ d' dH d' dH _ _ 



"^3^i^ W^'dp^ '"'^dti'dp^'^di^^d^~*~'"~'"^^ ^'~'' 



die unabhängigen Variabein f,, i^, . . . t, nicht explicite enthalten sollen. 

 Da diese Gleichung somit der Forderung gemäss nach <, partiell diffe- 

 rentiirt identisch erfüllt sein soll und die identische Befriedigung von 

 .8if ^dH ^dH ^dH „8F 



dt^ d dt> d 3^ d' 8/,, d' df, _ 



' Vergl. meine Arbeit »Die Principien der Mechanik für mehrere unabhängige 

 ^'arial)le■'. Journal fiir Matliemalik, Bd. 124. 



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