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Neue Begründung der Theorie der Gruppen- 

 charaktere. 



Von Dr. Issai Schur, 



Privatdozeiit an der Universität zu Berlin. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobknius am 23. Miirz 1905 [s. oben S. 359]. 



JLJie vorliegende Arbeit entliält eine durchaus elementare Einführung 

 in die von Hrn. Frobenius begründete Theorie der Gruppencharaktere', 

 die auch als die Lehre von der Darstellung der endlichen Gruppen 

 durch lineare homogene Substitutionen bezeichnet werden kann. 



Eine elementare Begründung dieser Theorie ist zwar in neuerer 

 Zeit bereits von Hrn. Burnside" gegeben worden. Hr. Burnside macht 

 jedoch noch von einem dem Gegenstand im Grunde fernliegenden 

 Hilfsmittel, nämlich dem Begrifi" der HERMixEschen Formen, Gebrauch. 

 Ich halte es daher nicht für überflüssig, eine neue Darstellung der 

 FROBENiusschen Theorie mitzuteilen, die mit noch einfticheren Hilfs- 

 mitteln operiert. 



Zum Verständnis des Folgenden ist aus der Theorie der linearen 

 Substitutionen im wesentlichen nur die Kenntnis der Anfangsgründe 

 des Kalküls der Matrizen erforderlich. Abgesehen von den rein for- 

 malen Regeln dieses Kalküls werden nur noch zwei übrigens sehr 

 leicht zu beweisende Sätze als bekannt vorausgesetzt, die der besseren 

 Übersicht wegen hier angeführt werden mögen: 



a) Ist P eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, und sind A 

 und B zwei Matrizen der Grade m und n, deren Determinanten nicht 

 verschwinden, so besitzen die beiden Matrizen P und APB den- 

 selben Rang. 



b) Ist P eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten, deren Rang 

 gleich r ist, so lassen sich zwei Matrizen A und B der Grade ni und 

 n von nicht verschwindenden Determinanten bestimmen , so daß in 

 der Matrix APB = (g-^g) die r Koeffizienten (/n . f/a-i . •••5 Irr gleich 1, 

 die übrigen Koeffizienten gleich sind. 



' Sitzungsberichte 1896. S.985 und S. 1343, ferner 1897, S.994 und 1899, S.482. 

 ^ Acta Mathematica, Bd. 28 (1904), S. 369, und Proceedings of the London 

 Matheuiatical Society, Ser. 2 , Vol. i (1904), S. 117. 



