1. Schur: Neue Begriindunn; der Tlieorie der Gruppeiicliaraktere. 407 



Der zuletzt angeführte Satz ist identisch mit dem bekannten 



Theorem, welches besagt, daß eine hilineare Form / = 2 ^Paii-^nVi 



vom Range r sieh auf die Gestalt /= z<, i', + m.,üo +■••+ r(,?v briiigcii 

 läßt, wo M, , W.2, •■• , Mr un<l v^,v.2, ■■■ ,v^ linear unabhängige lineare 

 liomogene Funktionen der m Variabein x„ und der n Variahein y^ be- 

 deuten. 



Die eigentliche Theorie der Gruppencharaktei'e wird in den 

 §§ I — 5 entwickelt. 



Der § 6 enthält eine Anwendung auf die Theorie der charakte- 

 ristischen Einheiten der endlichen Gruppen' ; die in diesem Paragraphen 

 durchgeführte Untersuchung verdanke ich einer Anregung des Hrn. 

 Frobenius. 



§ I- 

 Es sei § eine endliche Gruppe der Ordnung h. deren Elemente 

 i7„,7/,, ■■■ ,H,_, sind. 

 Sind dann 

 (I.) (//„),{//,), •••,(i/,_.) 



h Matrizen (lineare Substitutionen) n^"' Grades , welche den /r Relationen 



{R){S) = (RS) (R,S^ W.,,//, , ■••,«/,-.) 



genügen, so bezeichnen wir das System der Matrizen (i.) als eine 

 Darstellung der Gruppe §. Hierbei brauchen die Matrizen (i.) nicht 

 voneinander verschieden zu sein. 

 Sind ferner 



h unabhängige Variable, so soll die Matrix 



X=X {R)x.. (R = ih ,ih,--, ///■-.) 



R 



die der Darstellung entsprechende Gruppenmafrix genannt werden. Die 

 Zahl n bezeichnen wir als den Grad der Darstellung oder der Gruppen- 

 matrix. 



Eine Gruppenmatrix X = (x„g) kann durch folgende Eigenschaften 

 charakterisiert werden : 



1 . Die Koeffizienten x„g, sind lineare homogene Funktionen der 

 Variabein x^^ , Xu^, ■■■ , Xff^_^ ■ 



2. Ist yg ,yn, ■••,yn^_ ein zweites System von h unabhängigen 

 Variabein, setzt man ferner 



^Ä = 2 ^sVs-^R (fi, S= //o, H, , •■•, %-l), 



Frobeniu.s, Sitziingsbericiite 1903, S. 328. 



