408 Sitzung der pliys.- iiiatli. Classe v. (). Ai)ril 1905. — Mittlieilung v. 23. März. 



und gellt X in Y oder Z über, falls in X die Variabein x,i durch y^ 

 oder Zji ersetzt werden, so soll die Gleichung Z = XY bestehen. 



Bedeutet E das Haujitelement der Gruppe, so ist oflenbar 

 i,E)X= X. 

 Daher ist die Determinante |A'| der Matrix X dann und nur dann 

 identisch gleich 0, wenn die Determinante der Matrix {E) verschwindet. 

 Ist ferner die Determinante \X\ nicht identisch gleich 0, so ist {E) = E„ 

 die Einheitsmatrix ?i'™ Grades. Da ferner für jedes Element R der 

 Gruppe R'' = E, also auch (Rf = (E) ist, so sind, falls |X|^0 ist, 

 die Determinanten aller h Substitutionen {R) von Null verschieden. 



Ist X eine Gruppenmatrix und A eine konstante Matrix', deren 

 Determinante nicht verschwindet, so i.st auch Ä"= A'^XA eine Gruppen- 

 matrix. Jede auf diese Weise aus X hervorgehende Gruppenmatrix X' 

 bezeichnen wir als eine der Gruppenmatrix Xägm'wafcH^f Gruppenmatrix. 

 Ebenso nennen wir die der Matrix X' entsprechende Darstellung der 

 Gruppe § der aus X hervorgehenden Darstellung äquivalent. 



Eine Gruppenmatrix X soll reduzihel genannt werden, wenn sich 

 eine ihr äquivalente Grup^^enmatrix angeben läßt, welche die Form 



l u xj 



besitzt. Hierbei bedeuten X^ und X^ zwei quadi'atische Matrizen ge- 

 wisser Grade r>0 und ä>0, während ?7 eine Matrix mit ,s Zeilen und 

 r Spalten ist. — Jede der Matrizen X^ und X^ besitzt dann ebenfalls 

 die Eigenschaften einer Gruppenmatrix. 



Eine nicht reduzible Grupj^enmatrix nennen wir irrpduzihelP 

 In analoger Weise nennen wir eine Darstellung der Gruppe redu- 

 zibel oder irreduzibel, je nachdem die zugehörige Gruppenmatrix redu- 

 zibel oder irreduzibel ist. 



Für die Äquivalenz der Gruppenmatrizen gelten folgende unmittel- 

 bar zu beweisende Regeln: 



1. Ist X' der Gruppenmatrix X ä(|uivalent, so ist auch X der 

 Gruppenmatrix X' äquivalent. 



2. Zwei Gruppenmatrizen, die einer dritten äquivalent sind, sind 

 auch untereinander äquivalent. 



3. Eine Gruppenmatrix X geht in eine ihr äquivalente Gruppen- 

 matrix über, wenn die Zeilen und Spalten von X in derselben W^eise 



permutiert werden. Daher ist z. B. die Gruppenmatrix j ^ j reduzibel. 



' D.h. eine Matrix mit konstanten, von den Xg unabhängigen Koeffizienten. 



* Strenggenommen, müßte auch die Funktion der Variabein x^ als eine irredu- 

 zible Grui)penniatrix angesehen werden. Dieser triviale Fall soll aber, wenn im fol- 

 genden von einer irreduziblen Gruppenmatrix gesprochen wird, als ausgeschlossen gelten. 



