I.Schur: Neue Beüiiindiing der Tlieorie der Gru[n)encharaktere. 409 



4. Sind zwei Grui)])C'niii;itrizon ä(juivnlent, so sind ilire Deter- 

 minanten, ihre Rannzalilen und ihre Spuren einander gleich. — Hier- 

 bei ist unter der Spur einer Matrix (a„j) die Größe Xrj„„ zu verstehen. 



5. Sind X = (^„5) und X' = (x^-) zwei äquivalente Gruppen- 

 matrizen, so ist die Anzalil der linear unabhängigen unter den Funk- 

 tionen x^g der A Variabein Xji gleich der analogen Anzahl für die Funk- 

 tionen X^g. 



Die zuletzt genannte Regel gelit daraus hervor, daß die .t„,3 als 

 lineare homogene Funktionen der x^o, und umgekehrt die x^r^ als lineare 

 homogene Funktionen der a'„^ darstellbar sind. 



§2. 



Es sollen zunächst einige Eigenschaften der irreduziblon Gruppen- 

 matrizen abgeleitet werden. 



Die Grundlage der Untersuchung bildet folgender Satz, der auch 

 in der BuRNSioE'schen Darstellung der Theorie eine wichtige Rolle spielt: 



I. Es seien X und X' zwei irreduzible Gruppenmatrizen der Grade f 

 und /'. Ist dann P eine konstante Matrix mit f Zeilen und /' Spalten^ für 

 die die Gleichung 



XP = PX' 



besteht j so ist entweder P = oder es sind X und X' äquivalent j und 

 P ist eine quadratL'<che Matrix des Grades f = /' von nicht verschtvindender 

 Determinante. 



Es sei nämlich P von Null verscliieden und /■ > der Rang von P. 

 Es werde f-r = s. f' — r =^ t gesetzt. Man bestimme dann (vgl. Ein- 

 leitung) zwei Matrizen A und B der Grade / und /', deren Determi- 

 nanten nicht verschwinden, so daß die Matrix APB = Q die Gestalt 



(E, NA 

 [Nst NJ 



annimmt; hierbei soll allgemein E^ die Einheitsmatrix x'™ Grades be- 

 deuten, während unter N^^ die x Zeilen und A Spalten enthaltende Null- 

 matrix verstanden werden soll. Setzt man nun 



AXA-' = X, , B-'X'B = Xi, 



so wird 



(2.) XQ=QXI. 



Schreibt man nun X^ und X[ in der Form 



