410 Sitzung der phys.-matli. Classe v. 6. Ajiril 1905. — Mittheilung v. 23. März. 



WO X^^ und Xl^ Matrizen mit x. Zeilen und A Spalten bedeuten , so folgt 

 aus (2.) 



(X, NA __ (X'„ x:,\ 



\X^ NJ ~ [Xr nJ ' 



d. h. es ist 



JC, = , X', = . 



Wäre nun r </oder r </', so würde sich ergeben, daß X oder 

 X' reduzibel ist. Daher muß, falls P nicht sein soll, r ^ f = f 

 sein. Dann wird aber P eine quadratische Matrix des Grades / von 

 nicht verschwindender Determinante, und die Gruppenmatrizen X und 

 X' sind wegen P'^XP = X' äquivalent. 



Aus I folgt: 



IL Ist X eine irreduzihle Gruppenmatrix des Grades f_, so muß jede 

 mit X vertauschbare konstante Matrix P die Form aEf besitzen. 



In der Tat sei a eine Wurzel der Gleichung 



\P-xEf\ = 0. 



Dann wird P- aEf eine Matrix von verschwindender Determinante, 

 für die die Gleichung 



X{P-aEf) = (P-aEf)X 



besteht. Daher muß nach Satz I die Matrix P-aEf gleich 0, also 

 P ^ aEf sein. 



Setzt man wie früher X ^ X{R)xji, so ist wegen 



R 



{E)X= X(E) = X 



die Matrix {E) mit X vertauschbar. Folglich ist [E) von der Form 

 aEf, wobei die Zahl a, da {Ef = {E) ist, nur die Werte oder 1 

 besitzen kann. Wäre nun a := 0, so würde sich Ä^ = ergeben, ein 

 Fall, den wir ausgeschlossen haben. Daher ist bei einer irreduziblen 

 Gruppenmatrix stets (E) = Ef und ihre Determinante nicht identisch (*. 

 Ist ferner § insbesondere eine AßELSche Grujjpe, so ist jede 

 der Matrizen (R) mit X vertauschbar und also von der Form pEf. 

 Hierbei muß die Größe p, da {Rf = Ef ist, eine h'" Einheitswurzel 

 sein. Wäre nun / > 1 , so würde sich ergeben , daß X reduzibel ist. 

 Hieraus folgt: 



III. Ein^ SU einer Abelsc/wh Gruppe gehörende Gruppenniatrix ist 

 dann und nur dann irreduzibel. wenn ihr Grad gleich l ist. 



Wir beweisen nun den Avichtigen Satz: 



IV. Es sei 



X=[x„s,) (a,|3 = l,2,...,/), 



