I.Schur: Neue Begriindmiu; der Tlieoiic der Griippericliaraktere. 411 



eine irreduzible Gruppenmatrix des Grades f. Ist dann 



so bestehen die Gleichungen 



(I.) ^n'^ß' a^-= je„&e^g, («, ß.y, 5 ^ 1 ,2, ... ,./•) 



ICO e^^ yleich 1 oder gleich zu setzen i^t, je nachdem p t/leich (j oder 

 von CT verschieden ist. Ist ferner 



^'=(^1) (x.>. = 1,2,. ..,./■■) 



eine der Gruppeniiiatrix X nicht äquicalente irreduzihle Gruppeniiialrix des 

 Grades f und ist 



R 



so gelten die (ff)' Relationen 



(11.) 2af0"'6f, = Oi (a,ß = l,2,...,/; x,X^l,2,...,/'). 



R 



Es mögen nämlich die Matrizen {a"^) und (A") mit yl„ und 5„ 

 bezeichnet werden. Dann ist für je zwei Elemente R und <S der 

 Gruppe 



ARAs=A/;a , BrBs^Brs. 



Es sei nun U ^ {u„i) eine Matrix f^" Grades, deren Koeffizienten u„g, 

 beliebige Konstanten sind. Setzt man dann 

 (3.) V=XA,-.UA,, 



so ist für jedes Element -S der Gruppe 



R 



da nun das E;iement RS zugleich mit R alle Elemente der Gruppe 

 durchläuft, ferner S~^R^ = (ß>S')"' ist, so ist die rechts stehende 

 Summe gleich V. Folglich erhält man 



As-^VAs = V 



und, weil vls-i^^- = A,.; = E^ ist, VAf; = AgV. Daher ist V mit allen 

 Af; und also auch mit X vertauschbar und muß mithin die Form vEf 

 besitzen. Die Größe v ist jedenfalls eine lineare homogene Funktion 

 der M„g. Setzt man 



t' = 5 C',, u„ , 



' Die Relationen (I.) und (II.) .sind in den bisherigen Darstellungen der Theorie 

 nicht aiisdrücklicli auf^ei^eben. Sie .sind aber implizite in den für die Gruppencharaktere 

 geltenden Formeln entlialten. 



