41 2 Sitzung der jdiys.-matli. Classe v. 6. April 1905. — Mittiieilung v. 23. März. 

 SO ergibt sich aus (3.) 



2 2 «f,:'«, a« = e. X c„u. 



Daher ist 



(4-) 5«»V«"s = ^«ä%- 



Setzt man speziell (5' = ä und bildet die Summe über a = \ ,2 , ■■■ ,f, 

 so erhält man 



/%= 2 2a*„afs'. 



Die linke Seite wird aber, weil die Gleichung AaA^i-^ = Aj; = E, mit 

 den Relationen 



identisch ist, gleich he^g,\ daher ist c^j^ = -^ ^^ ,, . Setzt man dies in 



f '''' ' 

 (4.) ein, so erhält man die Relationen (1.). 



Bildet man ebenso, falls jetzt U ^ (m„J eine Matrix mit /Zeilen 

 und /' Spalten bedeutet, deren Koeffizienten beliebige Größen sind, 

 die Matrix 



V=XAx-,UBs, 



R 



SO ergibt sich auf demselben Wege die Gleichung XF= VX' . Da 

 nun X und X' nicht äquivalent sein sollen, so muß F = sein. Folg- 

 lich ist 



R ß,K 



Hieraus folgen, da die 'Wg^ beliebiger Werte fähig sind, die Relationen (IL). 



Aus den eben bewiesenen Relationen ergibt sicli leicht einer der 

 Hauptsätze der Theorie: 



V. Sind 



beliebig viele zu der Gruppe ^ gehörende irreduzible Gruppenmatrizen der Grade 

 /,/',•••, pon denen nicht zmei äquivalent sind, so sind die p -{- f"^ -\- ■ ■ ■ 

 linearen homogenen Funktionen der Variabein Xg untereinander linear un- 

 abhängig. 



In der Tat möge eine Gleichung der Form 



X Ccg, x„ß +x ci^x:,^+ ■■■ = 



bestehen. Dann ergibt sich, wenn af^ und b"^ dieselbe Bedeutung 

 liaben wie früher, für jedes R die Gleichung 



2c„ß««ß + 2; 6-:, 6« + ... = 0. 



