1. ScnuR: Neue Beirrüiuliing der Theorie der Griij)[)(>ncliaraktere. 41 H 



Multipliziert man nun diese (ileieliung mit o.""' und bildet die Summe 

 über i2 = //„, jf/i, •••, //,,_!, so erliJilt man wegen (I.) und (II.) 



-r :5 e„ß e„ä eyn = . 



J a,/3 



Die linke Seite dieser Gleichung ist aber gleieh .-C,)^- Folglieh sind 



alle Koeffizienten f;„5 gleich 0. Ebenso zeigt man. daß die/'' Koeffi- 

 zienten cl:^ verschwinden müssen, usw. 



Es gilt ferner der Satz: 



VI. Die Delprriilnante einer in-eduziblen Gruppenmatrix ist eine irre- 

 duzible Funktion der h Variabein x^ . Ferner sind zwei irreduzible Gruppen- 

 inatrizen dann und nur dann äquivalent^, wenn ihre Determinanten einander 

 gleich sind. 



Denn ist X = (^^"„3) eine irreduzible Gruppenmatrix des Grades /, 

 so bilden die Koeffizienten x„.^ nach Satz V ein System von /' linear 

 unabhängigen Funktionen der Variabein a;^. Bedeuten nun die f^ 

 Größen «„3 beliebige Variable, so kann man die x,i als lineare homo- 

 gene Funktionen der w^j derart bestimmen, daß .xv; = m„^ wird. Wäre 

 nun die Determinante \x^ß\ eine zerlegbare Funktion der Variabein Xj^, 

 so würde sich ergeben, daß die Determinante |m„s| als ein Produkt 

 von zwei ganzen rationalen Funktionen der M„^ darstellbar ist, was 

 bekanntlich nicht der Fall ist. — Sind ferner X = (x^^) und X' = {x'^^^) 

 zwei nicht äquivalente irreduzible Gruppenmatrizen, so kann man die 

 Variabein x^ so wählen, daß die Koeffizienten a;„j und x^, beliebig 

 vorgeschriebene Vv'erte annehmen. Daher können die Determinanten 

 von X und X' nicht einander gleich sein. 



Die Relationen (I.) und (II.) lassen sich noch verallgemeinern. 



Es seien S und 2 zwei feste Elemente der Gruppe. Ersetzt man 

 in (I.) die Indizes a und 7 durch p und er, multipHziert dann die Glei- 

 chung mit «f a^, und bildet die Summe über p und er, so ergibt sich 



(m.) 2aX'<f = T«f*</3 



Diese Formel kann noch anders geschrieben werden. Ersetzt man 

 nämlich links R durch T ^ R'\ so geht die Gleichung über in 



(iii'-) l«r«.r = 7«f*<0- 



Speziell ergibt sich aus (III.) für T = E die Relation 



(IV.) ^ a^n V= T"«*^/3- 



Sitzuiigsbericlite 1905. 40 



