I. Schur : Neue Bep;riiMdunf; der Theorie der Griippencliaraktere. 415 



äquivalent^ so ist sie auch de?- Gruppenmatrix 



^ -[o xj 



äquivalent. 



Es braucht oflenbar nur Ijcwiesea zu werden, daß sich eine kon- 

 stante Matrix P von nicht versehwindender Determinante bestimmen 

 läßt, so daß 



X" = P-' X' P 



wird. Ks seien nun r und « die Grade der Grn])penmatrizen A'i und 

 X.2, und es werde, falls JC' = ^ (R) Xj^ ist, 



<«'=(o:i) 



gesetzt, wo A,; und D^ quadratische Matrizen der Grade /• luid s, 

 dagegen C\ eine rechteckige Matrix mit s Zeilen und r Sjjalten be- 

 deutet. Es liegt nahe, die Substitution P in der Form 



'=(? l) 



anzusetzen und zu fragen, ob sicli die .< Zeilen und /• Spalten ent- 

 haltende Matrix F so bestimmen läßt, daß für jed(>s li 



''-'«"■= (t /".) 



wird. Als not wendige und liinreichende Bedingung hierfür erhält 

 man leicht 



(5-) Cr+ D^F = FAr. 



Daß sich nun in der Tat eine Matrix F angeben läßt, die dieser 

 Bedingung genügt, läßt sich folgendermaßen einsehen. 



Da für je zwei Elemente R und S der Gruppe die Gleichung 

 (R)(S) = (RS) gilt, so bestehen die Relationen 



(6.) ArAs = Ajts , DrDs = Drs, 



(7-) CgAs+DRCs=^ Crs. 



Man multipliziere nun die Gleichung (7.) rechts mit A^-, und 

 bilde die Summe über S = Ho, H^, ■ ■ ■ , H^^i . Setzt man dann noch 



\xCsAs-. = F', 

 n s 



so ergibt sich wegen AgAg-i = A^ 



hCRAj,+ Dr-I,F' = 2 ChsAs-^ . 



s 



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